《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

2. 若随机变量 $X$ 服从两点分布，且 $P(X = 1)=0.5$，则 $E(X)$ 和 $D(X)$ 分别为( C ).

A.$0.25$，$0.5$
B.$0.5$，$0.75$
C.$0.5$，$0.25$
D.$1$，$0.75$

答案： 2.C　解析$E(X)=0.5$，$D(X)=0.5×(1 - 0.5)=0.25$。

3. 已知随机变量 $\xi$，$D(\xi)=\frac{1}{9}$，则 $\xi$ 的标准差为$\frac{1}{3}$$\frac{1}{3}$.

答案： 3.$\frac{1}{3}$　解析$\xi$的标准差$\sqrt{D(\xi)}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$。

4. 已知随机变量 $\xi$ 的分布列如下表：

则 $\xi$ 的均值为$-\frac{1}{3}$$-\frac{1}{3}$，方差为$\frac{5}{9}$$\frac{5}{9}$.

答案： 4.$-\frac{1}{3}$　$\frac{5}{9}$　解析均值$E(\xi)=(-1)×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{3}+1×\frac{1}{6}=-\frac{1}{3}$；方差$D(\xi)=[-1 - (-\frac{1}{3})]^2×\frac{1}{2}+[0 - (-\frac{1}{3})]^2×\frac{1}{3}+[1 - (-\frac{1}{3})]^2×\frac{1}{6}=\frac{5}{9}$。

要点 1 求离散型随机变量的方差与标准差
典型例题
已知 $X$ 的分布列如下：
(1)求 $X^2$ 的分布列；
(2)计算 $X$ 的方差；
(3)若 $Y = 4X + 3$，求 $Y$ 的均值和方差.
归纳总结
要熟练掌握离散型随机变量方差的计算公式. 在随机变量 $X^2$ 的均值比较容易计算的情况下，运用关系式 $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ 是一种比较实用的方法. 另外注意方差性质的应用，如 $D(aX + b)=a^2D(X)$.

答案：
解
(1)由分布列的性质，知$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+a = 1$，故$a = \frac{1}{4}$，从而$X^2$的分布列为
　　　　　　　　
(2)方法一:由
(1)知$a = \frac{1}{4}$，所以$E(X)=(-1)×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{4}+1×\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$。所以$D(X)=(-1 + \frac{1}{4})^2×\frac{1}{2}+(0 + \frac{1}{4})^2×\frac{1}{4}+(1 + \frac{1}{4})^2×\frac{1}{4}=\frac{11}{16}$。
方法二:由
(1)知$a = \frac{1}{4}$，所以$E(X)=(-1)×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{4}+1×\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$，$E(X^2)=0×\frac{1}{4}+1×\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$，所以$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{11}{16}$。
(3)因为$Y = 4X + 3$，所以$E(Y)=4E(X)+3 = 2$，$D(Y)=4^2D(X)=11$。

迁移应用
已知 $\eta$ 的分布列为

(1)求 $\eta$ 的方差及标准差；
(2)设 $Y = 2\eta - E(\eta)$，求 $D(Y)$.

答案： 解
(1)$\because E(\eta)=0×\frac{1}{3}+10×\frac{2}{5}+20×\frac{1}{15}+50×\frac{2}{15}+60×\frac{1}{15}=16$，$\therefore D(\eta)=(0 - 16)^2×\frac{1}{3}+(10 - 16)^2×\frac{2}{5}+(20 - 16)^2×\frac{1}{15}+(50 - 16)^2×\frac{2}{15}+(60 - 16)^2×\frac{1}{15}=384$，$\therefore \sqrt{D(\eta)}=8\sqrt{6}$。
(2)$\because Y = 2\eta - E(\eta)$，$\therefore D(Y)=D(2\eta - E(\eta))=2^2D(\eta)=4×384 = 1536$。