《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

谚迁移应用
9192除以100的余数是81.

答案： 81 解析$91^{92}=(90+1)^{92}=C_{92}^{0}×90^{92}+C_{92}^{1}×90^{91}+·s+C_{92}^{91}×90+C_{92}^{92}$.
由此可见，除后两项外，其余的项均能被100整除.
而$C_{92}^{91}×90+C_{92}^{92}=8281=82×100+81$.
故$91^{92}$除以100的余数是81.

互动探究
二项式系数性质的应用
探究1(√−$\frac{2}{x²}${)”的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
探究2[变设问]在探究1的条件下求系
数最大的项与系数最小的项.
探究3[变条件,变设问]($\frac{x}{2}$−$\frac{1}{x}$)n的展
开式中，只有第5项的二项式系数最大，求
展开式中的常数项.

答案： 探究1 解$T_{r+1}=C_{8}^{r}(\sqrt{x})^{8-r}·\left(-\frac{2}{x^{2}}\right)^{r}=(-1)^{r}C_{8}^{r}· x^{\frac{4-5r}{2}}$.
(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，
$T_{5}=C_{8}^{4}×2^{4}× x^{4-\frac{20}{2}}=1120x^{-6}$.
(2)设第$r+1$项系数的绝对值最大，
则$\begin{cases} C_{8}^{r}·2^{r}\geqC_{8}^{r+1}·2^{r+1},\\ C_{8}^{r}·2^{r}\geqC_{8}^{r-1}·2^{r-1},\end{cases}$
即$\begin{cases} \frac{1}{8-r}\geq\frac{2}{r+1},\\ \frac{2}{r}\geq\frac{1}{9-r},\end{cases}$
整理得$\begin{cases} r\geq5,\\ r\leq6.\end{cases}$
于是$r=5$或$r=6$.
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
探究2 解 由探究1
(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正.故系数最大的项为$T_{7}=(-1)^{6}·C_{8}^{6}· x^{-11}=1792x^{-11}$.
系数最小的项为$T_{6}=(-1)^{5}·C_{8}^{5}·2^{5}· x^{\frac{-17}{2}}=-1792x^{-\frac{17}{2}}$.
探究3 解 由题意知$n=8$，
通项为$T_{k+1}=(-1)^{k}C_{8}^{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{8-k}x^{8-\frac{4}{3}k}$.
令$8-\frac{4}{3}k=0$，得$k=6$，
故常数项为第7项，
$T_{7}=(-1)^{6}×\left(\frac{1}{2}\right)^{2}×C_{8}^{6}=7$.