《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

互动探究
求相互独立事件的概率
探究 1 小王某天乘火车从甲地到乙地去办事，若当天从甲地到乙地的三列火车正点到达的概率分别为 $ 0.8 $，$ 0.7 $，$ 0.9 $，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响。求：
(1) 这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2) 这三列火车至少有一列正点到达的概率。
探究 2 在探究 1 的条件下，求恰有一列火车正点到达的概率。
归纳总结
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义。
一般地，已知两个事件 $ A $，$ B $，它们的概率分别为 $ P(A) $，$ P(B) $，那么：
(1) $ A $，$ B $ 中至少有一个发生为事件 $ A + B $。
(2) $ A $，$ B $ 都发生为事件 $ AB $。
(3) $ A $，$ B $ 都不发生为事件 $ \overline{A} \overline{B} $。
(4) $ A $，$ B $ 恰有一个发生为事件 $ A\overline{B} + \overline{A}B $。
(5) $ A $，$ B $ 中至多有一个发生为事件 $ A\overline{B} + \overline{A}B + \overline{A} \overline{B} $。

答案： 探究1 解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
则$P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9$，
所以$P(\overline{A})=0.2,P(\overline{B})=0.3,P(\overline{C})=0.1$.
(1)由题意得A，B，C之间相互独立，
所以恰好有两列火车正点到达的概率为
$P_1 = P(\overline{A}BC)+P(A\overline{B}C)+P(AB\overline{C})$
$=P(\overline{A})P(B)P(C)+P(A)P(\overline{B})P(C)+P(A)P(B)P(\overline{C})$
$=0.2 × 0.7 × 0.9 + 0.8 × 0.3 × 0.9 + 0.8 × 0.7 × 0.1$
$=0.398$.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
$P_2 = 1 - P(\overline{A}\overline{B}\overline{C})$
$=1 - P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C})$
$=1 - 0.2 × 0.3 × 0.1$
$=0.994$.
探究2 解 恰有一列火车正点到达的概率为
$P_3 = P(A\overline{B}\overline{C})+P(\overline{A}B\overline{C})+P(\overline{A}\overline{B}C)$
$=P(A)P(\overline{B})P(\overline{C})+P(\overline{A})P(B)P(\overline{C})+P(\overline{A})P(\overline{B})P(C)$
$=0.8 × 0.3 × 0.1 + 0.2 × 0.7 × 0.1 + 0.2 × 0.3 × 0.9$
$=0.092$.