《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

要点2 正态分布的实际应用
典型例题
设在一次数学考试中，某班学生的分数$X\sim N(110,20^2)$，且知试卷满分为$150$分.这个班的学生共$44$人，求这个班在这次数学考试中及格（即$90$分及以上）的人数和$130$分及以上的人数.
归纳总结
1 本题利用转化思想，把普通的区间转化为$3\sigma$区间，由特殊区间的概率值求出.
2 解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在$[\mu-\sigma,\mu+\sigma]$，$[\mu - 2\sigma,\mu+2\sigma]$，$[\mu - 3\sigma,\mu+3\sigma]$三个区间内的概率.在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.

答案： 解μ = 110，σ = 20，P(X≥90)=1−P(X＜90)=1−$\frac{1}{2}$[1−P(90≤X≤130)]=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$P(90≤X≤130)=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×0.683 = 0.8415.44×0.8415≈37(人)，即及格人数约为37.
∵P(X≥130)=P(X≤90)=1−P(X＞90)≈1−0.8415 = 0.1585，
∴44×0.1585≈7(人)，即130分及以上的人数约为7.

迁移应用
某人从某城市的南区乘公交车赶往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间$X$（单位：分）近似服从正态分布$N(50,10^2)$，求他在$[30,60]$分内赶到火车站的概率.

答案： 解
∵X~N(50,10²)，
∴μ = 50，σ = 10.
∴P(30≤X≤60)=P(30≤X≤50)+P(50≤X≤60)=$\frac{1}{2}$P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)+$\frac{1}{2}$P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈$\frac{1}{2}$×0.954+$\frac{1}{2}$×0.683 = 0.8185.即他在[30,60]分内赶到火车站的概率是0.8185.