《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

10. 一袋中装有$10$个大小和质地完全相同的黑球和白球。已知从袋中任意摸出$2$个球，至少得到$1$个白球的概率是$\frac{7}{9}$。从袋中任意摸出$3$个球，记得到白球的个数为$X$，则$P(X = 2)=$$\frac{5}{12}$。

答案： 10.$\frac{5}{12}$解析设10个球中有白球$m$个，
　　则$\frac{C_{10 - m}^{2}}{C_{10}^{2}} = 1 - \frac{7}{9}$，
　　解得$m = 5$或$m = 14$(舍去).
　　所以$P(X = 2) = \frac{C_{5}^{2}C_{5}^{1}}{C_{10}^{3}} = \frac{5}{12}$.

11. 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各$2$棵。设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为$\frac{5}{6}$和$\frac{4}{5}$，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的$4$棵大树中，
(1)至少有$1$棵成活的概率；
(2)两种大树各成活$1$棵的概率。

答案： 11.解设$A_{k}$表示第$k$棵甲种大树成活，$k = 1,2$，$B_{l}$表示第$l$棵乙种大树成活，$l = 1,2$，
$A_{1},A_{2},B_{1},B_{2}$相互独立，且$P(A_{1}) = P(A_{2}) = \frac{5}{6}$，$P(B_{1}) = P(B_{2}) = \frac{4}{5}$.
(1)至少有1棵成活的概率为
　　　$1 - P(\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}\overline{B_{1}}\overline{B_{2}})$
　　　$= 1 - P(\overline{A_{1}})P(\overline{A_{2}})P(\overline{B_{1}})P(\overline{B_{2}})$
　　　$= 1 - (\frac{1}{6})^{2}(\frac{1}{5})^{2}$
　　　$= \frac{899}{900}$.
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式，知所求概率为$P = C_{2}^{1}×\frac{5}{6}×\frac{1}{6}×C_{2}^{1}×\frac{4}{5}×\frac{1}{5} = \frac{4}{45}$.

12. 在一次数学考试中，有两道题为选做题，记为$A,B$。规定每名考生必须且只需在其中选做一题。设$4$名考生选做每一道题的概率均为$\frac{1}{2}$。
(1)求其中甲、乙两名考生选做同一道题的概率；
(2)设这$4$名考生中选做题$B$的人数为$\xi$，求$\xi$的分布列。

答案： 12.解
(1)设事件$A$表示“甲选做题$A$”，事件$B$表示“乙选做题$A$”，
　　　则甲、乙两名考生选做同一道题的事件为“$AB + \overline{A}\overline{B}$”，且事件$A$，$B$相互独立.
　　　故$P(AB + \overline{A}\overline{B}) = P(A)P(B) + P(\overline{A})P(\overline{B})$
　　　$= \frac{1}{2}×\frac{1}{2} + (1 - \frac{1}{2})×(1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
(2)随机变量$\xi$的可能取值为0,1,2,3,4，且$\xi\sim B(4,\frac{1}{2})$.
　　　则$P(\xi = k) = C_{4}^{k}(\frac{1}{2})^{k}(1 - \frac{1}{2})^{4 - k} = C_{4}^{k}(\frac{1}{2})^{4}(k = 0,1,2,3,4)$.
　　　即$P(\xi = 0) = C_{4}^{0}(\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16}$，
　　　$P(\xi = 1) = C_{4}^{1}(\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{4}$，
　　　$P(\xi = 2) = C_{4}^{2}(\frac{1}{2})^{4} = \frac{3}{8}$，
　　　$P(\xi = 3) = C_{4}^{3}(\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{4}$，
　　　$P(\xi = 4) = C_{4}^{4}(\frac{1}{2})^{4} = \frac{1}{16}$.
　　　故随机变量$\xi$的分布列为
　　　$\xi$　0　1　2　3　4
　　　$P$　$\frac{1}{16}$　$\frac{1}{4}$　$\frac{3}{8}$　$\frac{1}{4}$　$\frac{1}{16}$