《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

要点2 二项分布的综合应用
典型例题
一名高中生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有$5$个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是$\frac{1}{3}$。
(1)求这名高中生在途中遇到红灯的次数$\xi$的分布列；
(2)求这名高中生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数$\eta$的分布列；
(3)求这名高中生在途中至少遇到一次红灯的概率。
归纳总结
对于概率综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件或$n$次独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是$A + B$还是$AB$，确定事件是“至少有一个发生”，还是“同时发生”，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件或$n$次独立重复试验的概率公式求解。

答案： 解
(1)由题意知，$\xi$服从参数为5，$\frac{1}{3}$的二项分布，即$\xi\sim B(5,\frac{1}{3})$，
即$P(\xi = 0) = C_{5}^{0}×(\frac{1}{3})^{0}×(\frac{2}{3})^{5} = \frac{32}{243}$；
　　$P(\xi = 1) = C_{5}^{1}×\frac{1}{3}×(\frac{2}{3})^{4} = \frac{80}{243}$；
　　$P(\xi = 2) = C_{5}^{2}×(\frac{1}{3})^{2}×(\frac{2}{3})^{3} = \frac{80}{243}$；
　　$P(\xi = 3) = C_{5}^{3}×(\frac{1}{3})^{3}×(\frac{2}{3})^{2} = \frac{40}{243}$；
　　$P(\xi = 4) = C_{5}^{4}×(\frac{1}{3})^{4}×\frac{2}{3} = \frac{10}{243}$；
　　$P(\xi = 5) = C_{5}^{5}×(\frac{1}{3})^{5} = \frac{1}{243}$.
　　故$\xi$的分布列为
　　$\xi$　0　1　2　3　4　5
　　$P$　$\frac{32}{243}$　$\frac{80}{243}$　$\frac{80}{243}$　$\frac{40}{243}$　$\frac{10}{243}$　$\frac{1}{243}$
(2)$\eta$的可能取值为0,1,2,3,4,5，
　　$P(\eta = 0) = (\frac{2}{3})^{0}×\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$；
　　$P(\eta = 1) = \frac{2}{3}×\frac{1}{3} = \frac{2}{9}$；
　　$P(\eta = 2) = (\frac{2}{3})^{2}×\frac{1}{3} = \frac{4}{27}$；
　　$P(\eta = 3) = (\frac{2}{3})^{3}×\frac{1}{3} = \frac{8}{81}$；
　　$P(\eta = 4) = (\frac{2}{3})^{4}×\frac{1}{3} = \frac{16}{243}$；
　　$P(\eta = 5) = (\frac{2}{3})^{5} = \frac{32}{243}$.
　　故$\eta$的分布列为
　　$\eta$　0　1　2　3　4　5
　　$P$　$\frac{1}{3}$　$\frac{2}{9}$　$\frac{4}{27}$　$\frac{8}{81}$　$\frac{16}{243}$　$\frac{32}{243}$
(3)所求概率为$P(\xi\geq1) = 1 - P(\xi = 0) = 1 - (\frac{2}{3})^{5} = \frac{211}{243}$.

迁移应用
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是$\frac{4}{5}$和$\frac{3}{4}$。假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响。
(1)求甲射击$4$次，至少有$1$次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击$4$次，甲恰好击中目标$2$次且乙恰好击中目标$3$次的概率。

答案： 解
(1)记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件$A_{1}$，由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验.故$P(A_{1}) = 1 - P(\overline{A_{1}}) = 1 - (\frac{4}{5})^{4} = \frac{369}{625}$.
　　所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为$\frac{369}{625}$.
(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件$A_{2}$，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件$B_{2}$，
　　则$P(A_{2}) = C_{4}^{2}×(\frac{4}{5})^{2}×(1 - \frac{4}{5})^{4 - 2} = \frac{96}{625}$，
　　$P(B_{2}) = C_{4}^{3}×(\frac{3}{4})^{3}×(1 - \frac{3}{4}) = \frac{27}{64}$.
　　由于甲、乙射击相互独立，
　　故$P(A_{2}B_{2}) = P(A_{2})P(B_{2}) = \frac{96}{625}×\frac{27}{64} = \frac{81}{1250}$.所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为$\frac{81}{1250}$.