《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

要点 3 简单的组合问题
典型例题
现有 $10$ 名教师，其中男教师 $6$ 名，女教师 $4$ 名。
(1)现要从中选 $2$ 名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出 $2$ 名男教师或 $2$ 名女教师参加会议，有多少种不同的选法？
(3)现要从中选出男、女教师各 $2$ 名去参加会议，有多少种不同的选法？
归纳总结
解简单的组合应用题的策略
(1)当解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关。
(2)要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用。在分类或分步时，一定注意有无重复或遗漏。

答案： 典型例题
解
(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，故有$C_{10}^2=\frac{10×9}{2×1}=45$种选法.
(2)可把问题分两类情况：
第一类，选出的2名是男教师有$C_{6}^2$种选法；
第二类，选出的2名是女教师有$C_{4}^2$种选法.
根据分类加法计数原理，共有$C_{6}^2 + C_{4}^2 = 15 + 6 = 21$种不同的选法.
(3)从6名男教师中选2名有$C_{6}^2$种选法，从4名女教师中选2名有$C_{4}^2$种选法，根据分步乘法计数原理，共有$C_{6}^2× C_{4}^2=\frac{6×5}{2×1}×\frac{4×3}{2×1}=90$种不同的选法.

迁移应用
某次足球比赛共有 $12$ 支球队参加，分为小组赛、半决赛和决赛共三个阶段进行。
(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组 $6$ 队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；
(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛（每两队主客场各赛一场）决出胜者；
(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负。
问全部赛程共需比赛多少场？

答案： 迁移应用
解 小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是每组6支球队的任两支球队都要比赛一次，所以小组赛共要比赛$2C_{6}^2 = 30$场.
半决赛中甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛$2A_{2}^2 = 4$场.
决赛只需比赛1场，即可决出胜负.
所以全部赛程共需比赛$30 + 4 + 1 = 35$场.