《2025年同步练习册人民教育出版社高中数学选择性必修第二册人教版B专版》

14. 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续 $3$ 天里，有连续 $2$ 天的日销售量都不低于 $100$ 个且另一天的日销售量低于 $50$ 个的概率；
(2)用 $X$ 表示在未来 $3$ 天里日销售量不低于 $100$ 个的天数，求随机变量 $X$ 的分布列、均值 $E(X)$ 及方差 $D(X)$.

答案： 14.解
(1)设事件$A_1$为“日销售量不低于100个”，事件$A_2$为“日销售量低于50个”，事件$B$为“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”。因此$P(A_1)=(0.006 + 0.004 + 0.002)×50 = 0.6$，$P(A_2)=0.003×50 = 0.15$，$P(B)=0.6×0.6×0.15×2 = 0.108$。
(2)$X$可能取的值为$0,1,2,3$，$P(X = 0)=C_{3}^{0}×(1 - 0.6)^3 = 0.064$，$P(X = 1)=C_{3}^{1}×0.6×(1 - 0.6)^2 = 0.288$，$P(X = 2)=C_{3}^{2}×0.6^2×(1 - 0.6) = 0.432$，$P(X = 3)=C_{3}^{3}×0.6^3 = 0.216$，则$X$的分布列为
$X$ 0 1 2 3
$P$ 0.064 0.288 0.432 0.216
因为$X \sim B(3,0.6)$，所以均值$E(X)=3×0.6 = 1.8$，方差$D(X)=3×0.6×(1 - 0.6)=0.72$。

15. 现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
投资股市

购买基金

(1)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于 $\frac{4}{5}$，求 $p$ 的取值范围；
(2)丙要将家中闲置的 $20$ 万元钱进行投资，决定在“投资股市”“购买基金”这两种方案中选择一种，已知 $p = \frac{1}{2}$，那么丙选择哪种投资方案，才能使一年后投资收益的均值较大？给出结果并说明理由.

答案：
15.解
(1)记事件$A$为“甲投资股市且获利”，事件$B$为“乙购买基金且获利”，事件$C$为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则$C = A\overline{B} \cup \overline{A}B \cup AB$，且$A$，$B$独立。由题表可知，$P(A)=\frac{1}{2}$，$P(B)=p$。所以$P(C)=P(A\overline{B}) + P(\overline{A}B) + P(AB)=\frac{1}{2}×(1 - p)+\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}p=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}p ＞ \frac{4}{5}$，解得$p ＞ \frac{3}{5}$。又因为$p+\frac{1}{3}+q = 1$，$q \geq 0$，所以$p \leq \frac{2}{3}$。所以$p$的取值范围是$(\frac{3}{5},\frac{2}{3}]$。
(2)假设丙选择“投资股市”方案进行投资，记$X$为丙投资股市的获利金额(单位：万元)，所以随机变量$X$的分布列为
$X$ 8 0 -4
$P$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{3}{8}$
则$E(X)=8×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{8}+(-4)×\frac{3}{8}=\frac{5}{2}$。假设丙选择“购买基金”方案进行投资，记$Y$为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，所以随机变量$Y$的分布列为
　　　　　　
则$E(Y)=4×\frac{1}{2}+0×\frac{1}{3}+(-2)×\frac{1}{6}=\frac{5}{3}$。因为$E(X)＞E(Y)$，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的均值较大。