《2025年课堂精练七年级数学上册北师大版四川专版》

9. 已知关于 $x$ 的方程 $\frac{7 - x}{3} - 1 = \frac{x + a}{6}$ 的解是非负整数，那么正整数 $a$ 的所有可能的值之和为15。

答案： 15

10. 明明在解方程 $\frac{2x - 1}{3} = \frac{x - a}{2} - 1$ 去分母时，方程右边的 $-1$ 忘记乘 $6$，求得方程的解为 $x = -5$，则 $a$ 的值为2。

答案： 2

11. 下面是小友解方程 $\frac{2x - 1}{3} = 1 - \frac{x + 2}{4}$ 的过程，请仔细阅读，并解答下列问题。
解：去分母，得 $4(2x - 1) = 1 - 3(x + 2)$，①
去括号，得 $8x - 4 = 1 - 3x + 6$，②
移项，得 $8x + 3x = 1 + 6 + 4$，③
合并同类项，得 $11x = 11$，④
未知数的系数化为 $1$，得 $x = 1$。⑤
(1) 该同学的解答过程从第①步开始出错；
(2) 写出正确的解答过程。

答案：
(1)①
(2)$\dfrac{2x-1}{3}=1-\dfrac{x+2}{4}$,
去分母,得$4(2x-1)=12-3(x+2)$,
去括号,得$8x-4=12-3x-6$,
移项,得$8x+3x=12-6+4$,
合并同类项,得$11x=10$,
方程的两边都除以11,得$x=\dfrac{10}{11}$。

12. 已知关于 $x$ 的方程 $\frac{x + a}{9} - \frac{1 - x}{6} = 1$。
(1) 若方程与关于 $x$ 的方程 $2\left[x - 2\left(x - \frac{a}{4}\right)\right] = 3x$ 有相同的解，求 $a$ 的值；
(2)3或8 若方程的解是正整数，则正整数 $a$ 的值是________。

答案：
(1)解:$\dfrac{x+a}{9}-\dfrac{1-x}{6}=1$,
方程的两边都乘18,得$2(x+a)-3(1-x)=18$,
去括号,得$2x+2a-3+3x=18$,
移项、合并同类项,得$5x=21-2a$,
方程的两边都除以5,得$x=\dfrac{21-2a}{5}$。
$2\left[x-2\left(x-\dfrac{a}{4}\right)\right]=3x$,
去小括号,得$2\left(x-2x+\dfrac{a}{2}\right)=3x$,
继续去括号,得$2x-4x+a=3x$,
移项、合并同类项,得$-5x=-a$,
方程的两边都除以-5,得$x=\dfrac{a}{5}$。
因为两个方程的解相同,
所以$\dfrac{a}{5}=\dfrac{21-2a}{5}$,解得$a=7$。
(2)3或8 解析:由
(1)知$x=\dfrac{21-2a}{5}$,
因为方程的解是正整数,
所以21-2a能被5整除。
又a为正整数,
所以$21-2a=5$或$21-2a=15$,
解得$a=8$或$a=3$。
故答案为3或8。

13. (综合与实践)关于 $x$ 的方程 $ax + b = 0$ ($a \neq 0$)的解与关于 $y$ 的方程 $cy + d = 0$ ($c \neq 0$)的解满足 $|x - y| = m$ ($m$ 为正数)，则称方程 $ax + b = 0$ ($a \neq 0$)与方程 $cy + d = 0$ ($c \neq 0$)是“差 $m$ 方程”。例如：方程 $2x - 3 = 1$ 的解是 $x = 2$，方程 $y - 4 = 0$ 的解是 $y = 4$，因为 $|x - y| = |2 - 4| = 2$，所以方程 $2x - 3 = 1$ 与方程 $y - 4 = 0$ 是“差 $2$ 方程”。
(1) 请判断方程 $x - 2 = 3 - x$ 与方程 $y + 2 = 3(y + 1)$ 是不是“差 $3$ 方程”，并说明理由；
(2) 关于 $x$ 的方程 $\frac{3x + 5k}{2} - 1 = 2k$ 与关于 $y$ 的方程 $3y + 5 = y - 1$ 是“差 $1$ 方程”，求 $k$ 的值。

答案：
(1)解:方程$x-2=3-x$与方程$y+2=3(y+1)$是“差3方程”。理由如下:
解$x-2=3-x$,得$x=\dfrac{5}{2}$,
解$y+2=3(y+1)$,得$y=-\dfrac{1}{2}$。
因为$\left|\dfrac{5}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right|=3$,
所以方程$x-2=3-x$与方程$y+2=3(y+1)$是“差3方程”。
(2)解$3y+5=y-1$,得$y=-3$。
因为关于x的方程$\dfrac{3x+5k}{2}-1=2k$与关于y的方程$3y+5=y-1$是“差1方程”,
所以$|x+3|=1$,
解得$x=-2$或$x=-4$。
①当$x=-2$时,$\dfrac{3×(-2)+5k}{2}-1=2k$,
解得$k=8$;
②当$x=-4$时,$\dfrac{3×(-4)+5k}{2}-1=2k$,
解得$k=14$。
综上所述,$k=8$或$k=14$。