《2025年课堂精练七年级数学上册北师大版四川专版》

9. (数学应用)有下列生活中的现象：
①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短；
②从$A$地到$B$地架设电线，总是尽可能沿着线段$AB$架设；
③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上；
④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上。
其原理能用事实“两点之间线段最短”解释的为①②。（填序号）

答案： ①②

10. 已知线段$AB = 20$，在直线$AB$上有一点$C$，且$BC = 6$，若点$M$，$N$分别是线段$AB$，$BC$的中点，则线段$MN$的长为7或13。

答案： 7或13

11. 已知：如图，线段$a$和线段$b$。
尺规作图：求作线段$AB = a + b$，并在线段$BA$的延长线上，求作线段$AC = a - b$。（作图工具只限没有刻度的直尺和圆规，保留作图痕迹）
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答案： 解:在射线AF上截取AP=b,在射线PF上截取PB=a,则AB=a+b,
在射线AE上截取AQ=a,在线段QA上截取QC=b,则AC=a-b。
如图，AB，AC就是所要作的线段。

12. 如图，点$E$是线段$AB$的中点，点$C$是$EB$上一点，且$EC:CB = 1:4$，$AC = 12\ cm$。
（1）求$AB$的长；
（2）若$F$为$CB$的中点，求$EF$的长。



(1)设EC的长为x cm,
由EC:CB=1:4,得BC=4x cm。
又BE=BC+CE,则BE=5x cm。
又点E为线段AB的中点，
则AE=BE=$\frac{1}{2}$AB,
所以AE=5x cm。
因为AC=AE+EC,AC=12 cm,
所以5x+x=12,解得x=2。
所以AB=2AE=10x=20(cm)。
(2)因为F为线段CB的中点，
所以CF=$\frac{1}{2}$BC=2x cm。
又因为EF=EC+CF,
所以EF=3x=6(cm)。

答案：
(1)设EC的长为x cm,
由EC:CB=1:4,得BC=4x cm。
又BE=BC+CE,则BE=5x cm。
又点E为线段AB的中点，
则AE=BE=$\frac{1}{2}$AB,
所以AE=5x cm。
因为AC=AE+EC,AC=12 cm,
所以5x+x=12,解得x=2。
所以AB=2AE=10x=20(cm)。
(2)因为F为线段CB的中点，
所以CF=$\frac{1}{2}$BC=2x cm。
又因为EF=EC+CF,
所以EF=3x=6(cm)。

13. (综合与实践)
【问题探究】
（1）如图，点$C$在线段$AB$上，点$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点。若$AC = 9\ cm$，$CB = 6\ cm$，则线段$MN$的长为7.5 cm。
【方法迁移】
（2）已知点$C$在线段$AB$上，点$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点。若$AC = a\ cm$，$CB = b\ cm$，则线段$MN$的长为$\frac{a+b}{2}$ cm。
【学以致用】
（3）小明同学在解决问题“某校七年级（1）班延时服务统计情况如下：参加延时服务的女生是未参加延时服务的女生人数的$2$倍，参加延时服务的男生是全班男生人数的$\frac{2}{3}$。若参加延时服务的男、女生共有$m$人，则该班共有学生多少人？（用含$m$的式子表示）”时，突然联想到上面的几何问题，请你将这个实际问题转化为几何模型，并直接写出答案。（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义）
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答案：
(1)7.5 cm
(2)$\frac{a+b}{2}$ cm
(3)如图，线段AB的长度表示参加延时服务的女生人数，线段BC的长度表示未参加延时服务的女生人数，线段CD的长度表示参加延时服务的男生人数，线段DE的长度表示未参加延时服务的男生人数。
设BC=x,CE=y,则2x+$\frac{2}{3}$y=m,
所以3x+y=$\frac{3}{2}$m,
即该班共有学生$\frac{3}{2}$m人。