《2025年课堂精练七年级数学上册北师大版四川专版》

9. 利用计算器验证下面的式子是否成立：
$1×2×3×4 + 1=(1 + 3 + 1)^{2}$，
$3×4×5×6 + 1=(3^{2}+3×3 + 1)^{2}$，
$4×5×6×7 + 1=(4^{2}+3×4 + 1)^{2}$。
根据你发现的规律计算$11×12×13×14 + 1$的值为24025。

答案： 24025

10. 地球的半径约为$6378 km$，体积$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}$（其中$R$为地球半径），试计算地球的体积。（用科学记数法表示，保留两位小数，$\pi$取$3.14$）

答案：

$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}×3.14×(6378)^{3}$

$=\frac{4}{3}×3.14×259087992152$

$=\frac{4}{3}×813536295357.28$

$=1084715060476.3733$

$\approx1.09×10^{12}\ km^3$

11. （数学应用）如果有一根长$1 km$的绳子，请你利用计算器探索，这根绳子连续对折多少次后，每段绳长小于$1 m$。

答案： 解:对折1次后,每段绳子的长度为$\frac {1}{2}×1000=$500(m);
对折2次后,每段绳子的长度为$(\frac {1}{2})^{2}×1000=$250(m);
对折3次后,每段绳子的长度为$(\frac {1}{2})^{3}×1000=$125(m);
依此类推,对折10次后,每段绳子的长度为$(\frac {1}{2})^{10}×1000＜1(m)$。
故将这根绳子连续对折10次后能使每段绳长小于1m。

12. （数学应用）一粒米微不足道，平时总会在餐桌上毫不经意地掉下。有些挑食的同学甚至会把整碗米饭倒掉。针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得$500$粒大米约重$10 g$。现在请你来计算：
（1）一粒大米重约多少克？
（2）按我国现有人口$14$亿，每年$365$天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）
（3）假若我们把一年节约的大米拿去销售，按$2$元$/kg$计算，可获得销售收入多少元？（用科学记数法表示）
（4）经过以上计算，你有何感想和建议？

答案： 解:
(1)$10÷500=0.02(g)$。
则一粒大米重约0.02g。
(2)$0.02×1×3×365×1400000000÷1000=3.066×10^{7}(kg)$。
故一年大约能节约大米$3.066×10^{7}kg$。
(3)$2×3.066×10^{7}=6.132×10^{7}$(元)。
故可获得销售收入$6.132×10^{7}$元。
(4)一粒米虽然微不足道,但是我们一年节约下来的大米数量却大得惊人。所以我们要行动起来,提倡节约,杜绝浪费。(答案合理即可)

13. （综合与实践）一个四位正整数，各个数位上的数字均不为$0$，将其千位数字和百位数字组成一个两位数$a$，再将其十位数字和个位数字组成一个两位数$b$，若$b = 2a$，则称这个四位正整数为“灵动数”。比如，对于四位数$2958$，$a = 29$，$b = 58$，因为$58 = 2×29$，所以$2958$是“灵动数”；对于四位数$2342$，$a = 23$，$b = 42$，因为$42\neq2×23$，所以$2342$不是“灵动数”。若$m$是一个“灵动数”，将其千位数字与十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数$m'$，记$F(m)=\frac{m + m'}{101}$。
（1）判断$1531$，$4386$是不是“灵动数”，并说明理由；
（2）若一个“灵动数”$m$，它的千位上的数字是$2$，且$F(m)$是$7$的倍数，请求出所有符合条件的“灵动数”$m$。

答案： 解:
(1)对于四位数1531,$a=15,b=31,b≠2a$,
则1531不是“灵动数”。
对于四位数4386,$a=43,b=86$,因为$86=43×2$,所以$b=2a$,则4386是“灵动数”。
(2)设$m=2000+100a+10b+c,$
$m'=1000b+100c+20+a$。
则$m+m'=2020+101a+1010b+101c$。
所以$F(m)=\frac {2020+101a+1010b+101c}{101}=20+a+10b+c$。
因为m是“灵动数”，
所以$2×(20+a)=10b+c$,所以$40+2a=10b+c$。
当$a=1,b=4,c=2$时,
$F(m)=20+1+40+2=63,$
则F(m)是7的倍数,符合题意。故$m=2142$。
当$a=8,b=5,c=6$时,$F(m)=20+8+50+6=84,$
因为84是7的倍数,符合题意。故$m=2856$。
经验证,没有其他符合题意的a,b,c。
综上,$m=2142$或$m=2856$。