《2025年课堂精练七年级数学上册北师大版四川专版》

8. 我们常用的十进制数，如$2639 = 2×10^{3}+6×10^{2}+3×10^{1}+9$。我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记数。如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如$2513_{(7)} = 2×7^{3}+5×7^{2}+1×7^{1}+3$）记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是516。

答案： 516

9. 观察下列各式：
$-1×\frac{1}{2} = -1 + \frac{1}{2}$；
$-\frac{1}{2}×\frac{1}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$；
$-\frac{1}{3}×\frac{1}{4} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$；
…
（1）你发现的规律是$-\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1}=-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$；（用含$n$的式子表示，$n$为正整数）
（2）运用以上规律计算：$(-1×\frac{1}{2})+(-\frac{1}{2}×\frac{1}{3})+(-\frac{1}{3}×\frac{1}{4})+…+(-\frac{1}{216}×\frac{1}{217})$。
由（1）知，原式$=(-1+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+\cdots+(-\frac{1}{216}+\frac{1}{217})=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots-\frac{1}{216}+\frac{1}{217}=-1+\frac{1}{217}=-\frac{216}{217}$。

答案：
(1)$-\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1}=-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$
(2)由
(1)知,原式$=(-1+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+\cdots+(-\frac{1}{216}+\frac{1}{217})=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots-\frac{1}{216}+\frac{1}{217}=-1+\frac{1}{217}=-\frac{216}{217}$。

10. （综合与实践）如图，当四边形$ABCD$的内部有$1$个点$P_{1}$时，最多可以把四边形$ABCD$剪成$4$个三角形，当四边形$ABCD$内部有$2$个点$P_{1}$，$P_{2}$时，最多可以把四边形剪成$6$个三角形……
（1）当四边形$ABCD$的内部有$3$个点$P_{1}$，$P_{2}$，$P_{3}$时，最多可把它剪成8个三角形。
（2）当四边形$ABCD$内部有$n$个点$P_{1}$，$P_{2}$，…，$P_{n}$时，最多可以把它剪成$2(n+1)$个三角形。
（3）最多可以把四边形$ABCD$剪成$216$个三角形吗？若能，求出四边形$ABCD$内部有多少个点；若不能，请说明理由。
（4）若设四边形$ABCD$的内部有$1$个点时，最多可以把四边形$ABCD$剪成$S_{1}$个三角形；有$2$个点时，最多可以把四边形$ABCD$剪成$S_{2}$个三角形……有$100$个点时，最多可以把四边形$ABCD$剪成$S_{100}$个三角形，求$S_{1}+S_{2}+…+S_{100}$的值。
]

答案：
(1)8
(2)$2(n+1)$
(3)最多可以把四边形ABCD剪成216个三角形。假设最多可以把四边形ABCD剪成216个三角形时,四边形内部有n个点,则$2(n+1)=216$,解得$n=107$,即四边形ABCD内部有107个点。
(4)根据题意得$S_{1}=4=2×2$,$S_{2}=2×3$,$S_{3}=2×4$,$S_{4}=2×5$,$S_{5}=2×6$,$\cdots$,$S_{100}=2×101$,则$S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{100}=2×2+2×3+2×4+\cdots+2×101$$=2×(2+3+4+\cdots+101)$$=2×\frac{100×(2+101)}{2}$$=10300$。