《2025年课堂精练七年级数学上册北师大版四川专版》

9. （综合与实践）两个完全相同的长方体，长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm，把它们以不同方式叠放在一起，可以组成几种不同的新的长方体，在这几种新的长方体中，表面积最大是164 cm²。

答案： 164 cm²

10. （数学应用）如图①中所示的是3个形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）。将它们拼成如图②所示的新几何体，该新几何体的体积为60π。（结果保留π）

答案： 60π cm³

11. （综合与实践）小军和小红分别将直角梯形绕它的上底和下底所在直线旋转一周，得到两个立体图形。

你同意小红的说法。与同伴交流，并说出你的理由。
解:理由如下:绕4 cm长的上底所在直线旋转一周得到立体图形的体积为42π cm³,绕5 cm长的下底所在直线旋转一周得到立体图形的体积为39π cm³,42π cm³≠39π cm³。

答案： 解:小红 理由如下:绕4 cm长的上底所在直线旋转一周得到立体图形的体积为42π cm³,绕5 cm长的下底所在直线旋转一周得到立体图形的体积为39π cm³,42π cm³≠39π cm³。

12. 如图，大长方形的长为8cm，宽为6cm；小长方形的长为4cm，宽为3cm。以长边中点连线（图中虚线）为轴，将图中阴影部分旋转一周得到一个几何体，求这个几何体的表面积。（结果保留π）

答案： 1. 首先分析旋转后得到的几何体：
以长边中点连线为轴旋转一周后，得到的几何体是一个大圆柱（底面半径$R = 4cm$，高$h_1=6cm$）中间挖去一个小圆柱（底面半径$r = 2cm$，高$h_2 = 3cm$）。
圆柱的表面积公式$S = 2\pi R^{2}+2\pi Rh$（$R$为底面半径，$h$为高）。
2. 然后计算大圆柱的表面积$S_1$：
大圆柱的两个底面积$S_{底1}=2\pi R^{2}$，其中$R = 4$，则$S_{底1}=2\pi×4^{2}=32\pi$。
大圆柱的侧面积$S_{侧1}=2\pi Rh_1$，$R = 4$，$h_1 = 6$，则$S_{侧1}=2\pi×4×6 = 48\pi$。
3. 接着计算小圆柱的侧面积$S_2$：
小圆柱的侧面积公式$S_{侧2}=2\pi rh_2$，其中$r = 2$，$h_2 = 3$，则$S_{侧2}=2\pi×2×3=12\pi$。
4. 最后计算组合体（所求几何体）的表面积$S$：
所求几何体的表面积$S=S_{底1}+S_{侧1}+S_{侧2}$。
把$S_{底1}=32\pi$，$S_{侧1}=48\pi$，$S_{侧2}=12\pi$代入可得：
$S=(32\pi + 48\pi+12\pi)cm^{2}$。
$S = 92\pi cm^{2}$。
所以这个几何体的表面积是$92\pi cm^{2}$。

13. （综合与实践）【主题】卷筒纸的设计与测量
【素材】某品牌卷筒纸，直尺。
【实践操作】
步骤1：使用直尺测量卷筒纸的高度，中间空心硬纸轴的直径和外层的直径，记录数据如图①所示。
步骤2：如图②，把展开的纸巾折叠多层后再测量，通过计算得到每层纸巾厚度为0.02cm。

【实践探索】
（1）制作这个中间的纸轴至少需要多少平方厘米的硬纸板？（结果保留π）
（2）根据以上数据，设计一个方案，估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度。（π的值取3.14）

答案： 1. （1）
解：求制作中间纸轴需要的硬纸板面积，就是求纸轴的侧面积。
圆柱侧面积公式为$S = \pi dh$（$d$是底面直径，$h$是高）。
已知纸轴直径$d = 4cm$，卷筒纸高度$h = 10cm$。
则纸轴侧面积$S=\pi×4×10 = 40\pi(cm^{2})$。
2. （2）
解：方案如下：
先求卷筒纸的横截面积（圆环面积）$S=\pi R^{2}-\pi r^{2}$（$R$是外层半径，$r$是纸轴半径）。
已知外层直径$D = 12cm$，则$R=\frac{12}{2}=6cm$；纸轴直径$d = 4cm$，则$r = \frac{4}{2}=2cm$。
所以圆环面积$S=\pi×6^{2}-\pi×2^{2}=\pi(36 - 4)=32\pi(cm^{2})$。
因为每层纸巾厚度$d_{0}=0.02cm$，设卷筒纸展开后的总长度为$L$。
由于卷筒纸展开后，横截面积$×$高度$=$体积，而体积也等于展开后长方体（长$×$宽$×$高，这里宽就是卷筒纸高度$h = 10cm$，长是卷筒纸展开长度$L$，高是纸巾厚度$d_{0}$）的体积，又因为横截面积$×$卷筒纸高度$=$展开后纸巾的体积（横截面积$×$卷筒纸高度$=L×$卷筒纸高度$×$每层纸巾厚度），在高度相同的情况下，横截面积$=L×$每层纸巾厚度。
则$L=\frac{S}{d_{0}}$（$S$是圆环面积，$d_{0}$是每层纸巾厚度）。
把$S = 32\pi cm^{2}$，$d_{0}=0.02cm$，$\pi = 3.14$代入，$L=\frac{32×3.14}{0.02}$。
$L=\frac{32×3.14}{0.02}=\frac{100.48}{0.02}=5024(cm)$。
综上，（1）制作中间纸轴至少需要$40\pi cm^{2}$的硬纸板；（2）卷筒纸展开后的总长度约为$5024cm$。