《2025年课堂精练七年级数学上册北师大版四川专版》

9. 计算：$1+2-3-4+5+6-\cdots+221+222-223-224=$-224$$。

答案： -224

10. 已知 $a = 11$，$b = -5$，$c = -6$，求下列各式的值：
(1) $a - b - c=$22；
(2) $a + (b + c)=$0。

答案：
(1)22；
(2)0

11. 设 $[a]$ 表示不超过 $a$ 的最大整数，例如：$[2.3]=2$，$[-4\frac{1}{3}]=-5$，$[5]=5$。
(1) 求 $[2\frac{1}{5}]+[-3.6]-[-7]$ 的值；
(2) 求 $[2\frac{3}{4}]-[-2.4]+[-6\frac{1}{4}]$ 的值。

答案：
(1)$\left[2\frac{1}{5}\right]+\left[-3.6\right]-\left[-7\right]=2-4+7=5$；
(2)$\left[2\frac{3}{4}\right]-\left[-2.4\right]+\left[-6\frac{1}{4}\right]=2+3-7=-2$

12. （综合与实践）
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$。
将以上三个等式两边分别相加得 $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
(1) 猜想并写出：$\frac{1}{n(n + 1)}=$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
(2) 直接写出下列各式的计算结果：
① $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\cdots+\frac{1}{224×225}=$$\frac{224}{225}$；
② $\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{n(n + 1)}=$$\frac{n}{n+1}$。
(3) 已知 $|ab - 2| + |a - 2| = 0$，求 $\frac{1}{ab}+\frac{1}{(a + 1)(b + 1)}+\frac{1}{(a + 2)(b + 2)}+\cdots+\frac{1}{(a + 220)(b + 220)}$ 的值。
因为$|ab-2|+|a-2|=0$,所以$ab-2=0$,$a-2=0$,解得$a=2$,$b=1$,所以$\frac{1}{ab}+\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(a+2)(b+2)}+\cdots +\frac{1}{(a+220)(b+220)}$$=\frac{1}{1× 2}+\frac{1}{2× 3}+\frac{1}{3× 4}+\cdots +\frac{1}{221× 222}$$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{221}-\frac{1}{222}$$=1-\frac{1}{222}=\frac{221}{222}$
(4) 探究并计算：$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\cdots+\frac{1}{219×221}+\frac{1}{221×223}$。
$\frac{1}{1× 3}+\frac{1}{3× 5}+\frac{1}{5× 7}+\cdots +\frac{1}{219× 221}+\frac{1}{221× 223}=\frac{1}{2}× \left(1-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}× \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{2}× \left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots +\frac{1}{2}× \left(\frac{1}{219}-\frac{1}{221}\right)+\frac{1}{2}× \left(\frac{1}{221}-\frac{1}{223}\right)=\frac{1}{2}× \left(1-\frac{1}{223}\right)=\frac{111}{223}$

答案：
(1)$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
(2)①$\frac{224}{225}$ ②$\frac{n}{n+1}$；
(3)因为$|ab-2|+|a-2|=0$,所以$ab-2=0$,$a-2=0$,解得$a=2$,$b=1$,所以$\frac{1}{ab}+\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(a+2)(b+2)}+\cdots +\frac{1}{(a+220)(b+220)}$$=\frac{1}{1× 2}+\frac{1}{2× 3}+\frac{1}{3× 4}+\cdots +\frac{1}{221× 222}$$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{221}-\frac{1}{222}$$=1-\frac{1}{222}=\frac{221}{222}$；
(4)$\frac{1}{1× 3}+\frac{1}{3× 5}+\frac{1}{5× 7}+\cdots +\frac{1}{219× 221}+\frac{1}{221× 223}=\frac{1}{2}× \left(1-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2}× \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{2}× \left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots +\frac{1}{2}× \left(\frac{1}{219}-\frac{1}{221}\right)+\frac{1}{2}× \left(\frac{1}{221}-\frac{1}{223}\right)=\frac{1}{2}× \left(1-\frac{1}{223}\right)=\frac{111}{223}$