《2025年创新课堂创新作业本七年级数学上册人教版》

15. (10分)我们用“$\circ$”来表示某种运算,对于任意元素a,b,若$a^{\circ}b = b^{\circ}a$,那么这种运算满足交换律;若存在元素e,满足$a^{\circ}e = e^{\circ}a = a$,则称e为“$\circ$运算”下的单位元;若两个元素经过“$\circ$运算”后得到单位元,则这两个元素互为“$\circ$运算”下的逆元.
例如,在有理数范围内,加法满足交换律,减法则不满足交换律,加法运算下的单位元是0,互为相反数的两个有理数也互为加法运算下的逆元.
(1) 在有理数范围内,乘法运算下的单位元是 ____1,-5在乘法运算下的逆元是 ____$-\frac{1}{5}$.
(2) 若a,b表示两个有理数,定义运算“*”,其运算法则为$a * b = 2ab - a - b + 1$.例如:若$a = 2$,$b = 3$,则$a * b = 2 × 2 × 3 - 2 - 3 + 1 = 8$.
①“*运算”是否满足交换律: ____是(选填“是”或“否”);
②根据定义猜测“*运算”下的单位元,并验证.
猜想单位元是1。验证如下：a*1=2a·1-a-1+1=a，由①知“*运算”满足交换律，所以a*1=1*a=a，所以“*运算”下的单位元是1。

答案：
(1)因为a×1=1×a=a,所以乘法运算下的单位元是1.(2分)因为-5×($-\frac{1}{5}$)=1,所以-5在乘法运算下的逆元是$-\frac{1}{5}$.故答案为1,$-\frac{1}{5}$.(4分)
(2)①根据定义,a*b=2ab-a-b+1,b*a=2ba-b-a+1=2ab-a-b+1=a*b,因此满足交换律.答案为是.(7分)②猜想单位元是1.验证如下:a*1=2a·1-a-1+1=a,由①知“*运算”满足交换律,所以a*1=1*a=a,所以“*运算”下的单位元是1.(10分)

16. (12分)给出下面两组算式:$(3 × 5)^{2}与3^{2} × 5^{2}$,$(-\frac{1}{2} × 4)^{3}与(-\frac{1}{2})^{3} × 4^{3}$.
(1) 计算各组算式,每组的结果相等吗?
(2) 想一想,当n是正整数时,$(a \cdot b)^{n}$等于什么? 用乘方的意义说明你的结论的正确性.
(3) 用你发现的规律计算:$(-0.125)^{2024} × 8^{2025}$.

答案：
(1)(3×5)²=15²=225,3²×5²=9×25=225,(3×5)²=3²×5².(2分)$(-\frac{1}{2}×4)³$=(-2)³=-8,$(-\frac{1}{2})³×4³$=$-\frac{1}{8}×64=-8$,$(-\frac{1}{2}×4)³=(-\frac{1}{2})³×4³$.(4分)
(2)(a·b)ⁿ=aⁿbⁿ.理由如下:(a·b)ⁿ=$\overbrace{ab·ab·\dots·ab}^{n个}$=$\overbrace{a·a·\dots·a}^{n个}$·$\overbrace{b·b·\dots·b}^{n个}$=aⁿbⁿ.(8分)
(3)(-0.125)²⁰²⁴×8²⁰²⁵=(-0.125×8)²⁰²⁴×8=(-1)²⁰²⁴×8=8.(12分)