《2025年预学与导学六年级数学上册人教版》

1. 右图是一所学校田径场的示意图。

(1) 你能求出第一跑道和第二跑道的长度相差多少米吗？(各跑道之间的距离是1.25 m,π取3.14159,用计算器计算)
(2) 你能求出第二跑道和第三跑道的长度之差吗？

答案：
(1)
第一跑道和第二跑道弯道部分可以看作两个半圆，
第一跑道的半径为$r$，第二跑道的半径为$r + 1.25$（$r$为第一跑道弯道半径）。
对于第一跑道弯道长度$C_1$，根据圆的周长公式$C = 2\pi r$，
这里两个半圆合起来是一个圆，
所以$C_1=2\pi r$；
第二跑道弯道长度$C_2 = 2\pi(r + 1.25)$。
那么弯道部分长度差$\Delta C_1=C_2 - C_1=2\pi(r + 1.25)-2\pi r$，
根据乘法分配律$a×(b+c)=a× b+a× c$，
可得$\Delta C_1=2\pi r+2\pi×1.25 - 2\pi r=2\pi×1.25$。
直道部分两个跑道长度相同，都是$85.96$米，有两个直道。
第一跑道长度$L_1 = 85.96×2+2\pi r$，
第二跑道长度$L_2 = 85.96×2+2\pi(r + 1.25)$。
两跑道长度差$\Delta L_1=L_2 - L_1=(85.96×2+2\pi(r + 1.25))-(85.96×2+2\pi r)$，
去括号后$\Delta L_1=85.96×2+2\pi r+2\pi×1.25 - 85.96×2 - 2\pi r=2\pi×1.25$。
把$\pi = 3.14159$代入$2\pi×1.25$，
$2×3.14159×1.25 = 7.853975\approx7.85$（米）。
答案：第一跑道和第二跑道的长度相差约$7.85$米。
(2)
同理，第二跑道半径为$r_2$，第三跑道半径为$r_2 + 1.25$。
第二跑道弯道长度$C_{2}=2\pi r_2$，
第三跑道弯道长度$C_{3}=2\pi(r_2 + 1.25)$。
弯道部分长度差$\Delta C_2=C_{3}-C_{2}=2\pi(r_2 + 1.25)-2\pi r_2=2\pi×1.25$。
直道部分长度不变，第二跑道长度$L_{2}=85.96×2 + 2\pi r_2$，
第三跑道长度$L_{3}=85.96×2+2\pi(r_2 + 1.25)$。
两跑道长度差$\Delta L_2=L_{3}-L_{2}=(85.96×2+2\pi(r_2 + 1.25))-(85.96×2+2\pi r_2)=2\pi×1.25$。
把$\pi = 3.14159$代入$2\pi×1.25$，
$2×3.14159×1.25 = 7.853975\approx7.85$（米）。
答案：第二跑道和第三跑道的长度相差约$7.85$米。

2. 经过上面的尝试,你发现了什么？

答案： 在确定起跑线时，每相邻两条跑道的起跑线相差的距离等于相邻两条跑道的周长差，且这个差等于跑道宽度乘2再乘圆周率π（即2π×跑道宽度）。

3. 右图是一个圆环,请用字母表示出大圆与小圆的周长之差,再进行化简。你又发现了什么？

答案： 解析：本题考查圆的周长公式。
大圆的半径为$a$，小圆的半径为$p$。
根据圆的周长公式$C = 2\pi r$（$C$表示圆的周长，$r$表示圆的半径），可得：
大圆的周长$C_1 = 2\pi a$，小圆的周长$C_2 = 2\pi p$。
那么大圆与小圆的周长之差为：
$C_1 - C_2 = 2\pi a - 2\pi p = 2\pi(a - p)$。
可以发现：圆环的大圆与小圆的周长之差等于$2\pi$乘以大圆半径与小圆半径之差，即圆环的宽度$(a - p)$的$2\pi$倍。
答案：$2\pi(a - p)$；圆环的大圆与小圆的周长之差等于圆环宽度的$2\pi$倍。