《2025年预学与导学六年级数学上册人教版》

1. 猜想：用同样长的绳子围成长方形、正方形或圆,哪一种图形的面积最大？

答案： 解析：本题主要考察长方形，正方形，圆的周长和面积公式，以及通过给定周长计算各种图形面积的能力，同时涉及到对图形的猜想与验证。
首先，我们设定一个固定的周长，然后分别计算在这个周长下，长方形、正方形和圆的面积。
对于长方形，我们可以设定其长为l，宽为w，周长为P，则有$2l + 2w = P$。为了简化计算，我们可以设定$l = \frac{P}{4} + d$，$w = \frac{P}{4}-d$，其中d为长与宽的差的一半。面积$S_{rectangle} = lw = (\frac{P}{4} + d)(\frac{P}{4} - d) = \frac{P^{2}}{16} - d^{2}$。可以看出，当d=0时，即长方形变为正方形时，面积最大，为$\frac{P^{2}}{16}$。
对于正方形，其四边等长，设边长为a，则周长$P = 4a$，面积$S_{square} = a^{2} = (\frac{P}{4})^{2} = \frac{P^{2}}{16}$。
对于圆，设其半径为r，周长$P = 2\pi r$，面积$S_{circle} = \pi r^{2} = \pi (\frac{P}{2\pi})^{2} = \frac{P^{2}}{4\pi}$。
比较三者的面积，可以看出在周长一定的情况下，圆的面积最大。
答案：用同样长的绳子围成的图形中,圆的面积最大。

2. 一根绳子长 31.4 m,小红、小东和小林分别用这根绳子在操场上围出一块地,计算各地的面积。
小东：围成圆。
小林：围成正方形。
小红：围成长方形。

答案： 小东：31.4÷3.14÷2=5(m)，3.14×5²=78.5(m²)
小林：31.4÷4=7.85(m)，7.85×7.85=61.6225(m²)
小红：长方形长和宽的和为31.4÷2=15.7(m)，面积不确定（长和宽的值未给出）

3. 举一个例子来验证第1题的猜想。

答案： 解析：由于题目没有给出第1题的具体内容，但根据题目来源和范围，我们可以假设第1题提出了一个猜想，比如关于分数运算、比例关系或者某种数学规律的猜想。为了验证这个猜想，我们需要举一个具体的例子来进行计算或推理。
假设第1题的猜想是关于“两个分数的和减去其中一个分数，结果等于另一个分数”的猜想。为了验证这个猜想，我们可以举以下例子：
例子：验证$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$
计算过程如下：
首先计算两个分数的和：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$
然后从上一步的结果中减去其中一个分数（比如$\frac{1}{2}$）：
$\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
验证结果：$\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$，猜想成立。
答案：例子：$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$，验证了猜想的正确性。

4. (机动)如果正方形与圆的面积相等,那么它们的周长哪一个长？为什么？

答案： 解析：本题主要考察正方形与圆的面积和周长的关系。可通过设定统一的面积数值，分别求出正方形和圆的周长，再进行比较。
答案：设正方形与圆的面积均为$S$。
对于正方形：
面积 $S = a^2$，则边长 $a = \sqrt{S}$。
周长 $C_{square} = 4a = 4\sqrt{S}$。
对于圆：
面积 $S = \pi r^2$，则半径 $r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$。
周长 $C_{circle} = 2\pi r = 2\pi \sqrt{\frac{S}{\pi}} = 2\sqrt{\pi S}$。
比较两者的周长：
$C_{square} = 4\sqrt{S}$，
$C_{circle} = 2\sqrt{\pi S}$，
因为 $\pi \approx 3.14159$，所以 $2\sqrt{\pi S} \lt 4\sqrt{S}$，
即 $C_{circle} \lt C_{square}$。
因此，正方形的周长比圆的周长长。