《2025年预学与导学六年级数学上册人教版》

1. 填空。
(1) 一个圆的半径扩大到原来的$a(a＞1)$倍,那么直径扩大到原来的($a$)倍,周长扩大到原来的($a$)倍,面积扩大到原来的($a^2$)倍。
(2) 用铁丝围成一个半径为1.5 m的半圆(接头处忽略不计),至少需要(12.42)m铁丝。
(3) 一个圆的半径是12 dm,在其中画一个圆心角是$270^{\circ }$的扇形。这个扇形的面积是圆的$\frac{(3)}{(4)}$,它的面积是(339.12)$dm^{2}$。

答案： 解析：
(1) 一个圆的半径扩大到原来的$a(a＞1)$倍，我们需要考虑直径、周长和面积的变化情况。
直径是半径的两倍，因此直径也扩大到原来的$a$倍。
周长与半径成正比，所以周长也扩大到原来的$a$倍。
面积与半径的平方成正比，所以面积扩大到原来的$a^2$倍。
(2) 用铁丝围成一个半径为1.5 m的半圆，我们需要计算半圆的周长加上直径的长度。
半圆的周长是$\pi r$，其中$r$是半径。
直径的长度是$2r$。
因此，总长度是$\pi r + 2r = \pi × 1.5 + 2 × 1.5$。
(3) 一个圆的半径是12 dm，在其中画一个圆心角是$270^{\circ}$的扇形。
扇形的面积与圆心角占整个圆的比例有关，即$\frac{270}{360} = \frac{3}{4}$。
圆的面积是$\pi r^2$，其中$r$是半径。
扇形的面积是圆面积的$\frac{3}{4}$，即$\frac{3}{4} × \pi × 12^2$。
答案：
(1) $a$；$a$；$a^2$
(2) $3\pi + 3 \approx 3 × 3.14 + 3 = 12.42$（取$\pi$的近似值为3.14）
(3) $\frac{3}{4}$；$\frac{3}{4} × \pi × 12^2 = 339.12/4 × 4/3 = 27 × 3\pi = 339.12 \approx 339.12$（$dm^2$）（取$\pi$的近似值为3.14，并进行了简化计算）

2. 判断下面各题,对的画"√",错的画"×"。
(1) 半径总是比直径短。 ………………………………………………… (×)
(2) 一个圆的半径是2 cm,它的周长与面积相等。 …………………… (×)
(3) 如果两个圆的周长相等,那么这两个圆一样大。 ………………… (√)
(4) 同一个圆内扇形的面积大小是由圆心角的大小决定的。 ……… (√)
(5) 小圆的圆周率总是比大圆的圆周率小。 …………………………… (×)

答案： 解析：
(1) 半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，而直径是经过圆心并且两端都在圆上的线段。对于同一个圆，直径是半径的两倍，但不同大小的圆之间，半径可能比另一个圆的直径长或短。因此，不能一概而论说半径总是比直径短。
(2) 圆的周长是圆边界的长度，而面积是圆内部的大小。两者衡量的是不同的几何属性，因此不能直接比较。即使数值上相等，也不能说周长和面积相等。
(3) 圆的周长公式是 $C = 2\pi r$。如果两个圆的周长相等，那么它们的半径也必然相等，从而两个圆的大小（面积）也相等。
(4) 在同一个圆中，所有扇形的半径都是相等的。扇形的面积大小取决于其圆心角的大小，圆心角越大，扇形面积越大。
(5) 圆周率 $\pi$ 是一个常数，与圆的大小无关。无论是小圆还是大圆，圆周率都是相同的。
答案：
(1) ×
(2) ×
(3) √
(4) √
(5) ×

3. 一个圆形花坛的半径是4 m,花坛周围有一条1 m宽的小路。这条小路的面积是多少平方米?

答案： 解析：本题考查圆环的面积计算。需要先求出外圆的半径，再根据圆环面积公式求解。
已知圆形花坛的半径是4m，花坛周围小路宽1m，那么外圆半径等于花坛半径加上小路宽度，即$4 + 1 = 5m$。
根据圆的面积公式$S = \pi r^2$（其中$S$表示圆的面积，$\pi$通常取$3.14$，$r$为圆的半径），可得外圆面积为$3.14×5^2 = 3.14×25 = 78.5$平方米，内圆（花坛）面积为$3.14×4^2 = 3.14×16 = 50.24$平方米。
小路的面积就是外圆面积减去内圆面积，即$78.5 - 50.24 = 28.26$平方米。
答案：$3.14×(4 + 1)^2 - 3.14×4^2 = 28.26$（平方米）
答：这条小路的面积是28.26平方米。

4. 在一个半径是6 cm的圆内画一个圆心角是$150^{\circ }$的扇形,这个扇形的周长与面积各是多少?

答案： 解析：
本题主要考查扇形的周长和面积计算。
扇形的周长包括两段半径和一段弧长，需要使用到弧长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$，其中n为圆心角，r为半径。
扇形的面积则需要使用到扇形面积公式$S_{扇形} = \frac{n\pi r^2}{360}$，其中n为圆心角，r为半径。
答案：
半径 $r = 6 cm$，圆心角 $n = 150^\circ$。
计算弧长：
$l = \frac{150 × \pi × 6}{180} = 5\pi (cm)$。
扇形的周长：
$C = 2r + l = 2 × 6 + 5\pi = 12 + 5\pi \approx 12 + 5 × 3.14 = 27.7 (cm)$。
扇形的面积：
$S_{扇形} = \frac{150 × \pi × 6^2}{360} = \frac{150 × \pi × 36}{360} = 15\pi \approx 15 × 3.14 = 47.1 (cm^2)$。
故这个扇形的周长是 $27.7 cm$，面积是 $47.1 cm^2$。

1. 一根铁丝正好围成一个直径为2 m的圆,如果把它改围成一个正方形,那么是正方形的面积大还是圆的面积大? 正方形的面积是多少平方米?

答案： 解析：本题考查圆的周长和面积以及正方形的周长和面积计算。需要先根据圆的直径求出圆的周长，再根据周长求出正方形的边长，最后分别计算圆和正方形的面积并比较大小。
圆的周长公式为$C = \pi d$（$C$表示周长，$d$表示直径），已知圆的直径为$2m$，则圆的周长$C = 3.14×2 = 6.28m$，这也就是铁丝的长度，同时也是正方形的周长。
正方形的周长公式为$C = 4a$（$C$表示周长，$a$表示边长），则正方形的边长$a = C÷4 = 6.28÷4 = 1.57m$。
正方形的面积公式为$S = a^2$（$S$表示面积，$a$表示边长），则正方形的面积$S = 1.57^2 = 2.4649m^2$。
圆的面积公式为$S = \pi r^2$（$S$表示面积，$r$表示半径），已知圆的直径为$2m$，则半径$r = 2÷2 = 1m$，所以圆的面积$S = 3.14×1^2 = 3.14m^2$。
比较圆和正方形的面积大小，$3.14m^2＞2.4649m^2$，即圆的面积大。
答案：圆的面积大，正方形的面积是$2.4649$平方米。

2. 如右图,长方形的长是8 cm,求阴影部分的周长与面积。

答案： 本题考查圆的周长和面积公式以及长方形性质的应用。
阴影部分由三个半径相同的半圆和长方形两条长边组成。
设圆的半径为$r$，由图可知，长方形的长等于4个半径，即$4r = 8$ cm，解得$r = 2$ cm。
阴影部分的周长等于三个半圆的弧长加上长方形两条长边的长度。
一个半圆的弧长为$\pi r$，那么三个半圆的弧长为$3\pi r$。
将$r = 2$ cm代入可得：$3×3.14× 2 = 18.84$（cm）。
长方形两条长边的长度为$2× 8 = 16$（cm）。
所以阴影部分的周长为$18.84 + 16 = 34.84$（cm）。
阴影部分的面积等于长方形的面积减去三个半圆以外的部分的面积，而三个半圆以外的部分的面积等于一个整圆的面积。
长方形的面积公式为$S_{长}=长×宽$，圆的面积公式为$S_{圆}=\pi r^{2}$。
长方形的宽等于圆的直径，即$2r = 4$ cm，那么长方形的面积为$8× 4 = 32$（$cm^{2}$）。
一个圆的面积为$3.14× 2^{2} = 12.56$（$cm^{2}$）。
所以阴影部分的面积为$32 - 12.56 = 19.44$（$cm^{2}$）。
综上，阴影部分的周长是34.84 cm，面积是19.44$cm^{2}$。