《2025年预学与导学六年级数学上册人教版》

1. 中国建筑中经常能见到"外方内圆"和"外圆内方"的设计,如右图。已知两幅图中圆的半径都是1m,请分别求出正方形和圆之间部分的面积。

(1) 画图:根据上面的信息与问题,用直尺和圆规画出图示。
外方内圆
外圆内方
(2) 分析:怎样求正方形和圆之间部分的面积?
外方内圆
外圆内方
(3) 列式解答:
外方内圆
外圆内方

答案：
(1) 图略
(2) 分析：
外方内圆：
先求出正方形的面积，再求出圆的面积，两者相减即为所求面积。
外圆内方：
先求出圆的面积，再通过圆半径求正方形面积（正方形对角线为圆直径），两者相减即为所求面积。
(3) 列式解答：
外方内圆：
正方形的边长等于圆的直径，即 $2 × 1 = 2 \text{m}$。
正方形的面积：$S_{\text{正方形}} = 2 × 2 = 4 \text{m}^2$。
圆的面积：$S_{\text{圆}} = \pi × 1^2 = \pi \text{m}^2$。
正方形和圆之间部分的面积：$S_{\text{差}} = S_{\text{正方形}} - S_{\text{圆}} = 4 - \pi \approx 4 - 3.14 = 0.86 \text{m}^2$。
外圆内方：
圆的面积：$S_{\text{圆}} = \pi × 1^2 = \pi \text{m}^2$。
正方形的对角线等于圆的直径，即 $2 \text{m}$。
设正方形的边长为 $a$，则 $a\sqrt{2} = 2$，解得 $a = \sqrt{2}$。
正方形的面积：$S_{\text{正方形}} = (\sqrt{2})^2 = 2 \text{m}^2$。
正方形和圆之间部分的面积：$S_{\text{差}} = S_{\text{圆}} - S_{\text{正方形}} = \pi - 2 \approx 3.14 - 2 = 1.14 \text{m}^2$。

2. 在解答上面的问题时,你发现"外方内圆"与"外圆内方"的图形中,圆与正方形之间有怎样的关系?

答案： 解析：
“外方内圆”指的是一个正方形内部有一个内切圆，此时圆的直径等于正方形的边长。
“外圆内方”则指的是一个圆内部有一个内接正方形，此时圆的直径等于正方形的对角线。
在“外方内圆”图形中，圆的直径是正方形的边长，圆的面积小于正方形的面积。
在“外圆内方”图形中，圆的直径是正方形的对角线，圆的面积大于正方形的面积。
这两种图形中，圆与正方形之间的关系主要体现在它们的面积比和边长（或直径）关系上。
答案：
在“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长，圆的面积小于正方形的面积。
在“外圆内方”图形中，圆的直径等于正方形的对角线，圆的面积大于正方形的面积。