《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

22.关于x的方程$x^{2}-(2k-1)x+k^{2}-2k+3=0$有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)设方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,存不存在这样的实数k,使得$|x_{1}|-|x_{2}|=\sqrt {5}$?若存在,求出这样的k值;若不存在,说明理由.

答案： 解:
(1) 由题意得 $\Delta=b^{2}-4 a c=[-(2 k-1)]^{2}-4\left(k^{2}-2 k+3\right)=4 k-11＞0$, 解得 $k＞\frac{11}{4}$;
(2) 存在, 理由如下:
$\because x_{1}+x_{2}=2 k-1, x_{1} x_{2}=k^{2}-2 k+3=(k-1)^{2}+2＞0$,
$\therefore$ 将 $\left|x_{1}\right|-\left|x_{2}\right|=\sqrt{5}$ 两边平方可得 $x_{1}^{2}-2 x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}=5$, 即 $\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}=5$, 则 $(2 k-1)^{2}-4\left(k^{2}-2 k+3\right)=5$, 化简得 $4 k-11=5$, 解得 $k=4$,
$\because 4＞\frac{11}{4}$,
$\therefore$ 存在 $k=4$, 使 $\left|x_{1}\right|-\left|x_{2}\right|=\sqrt{5}$.

23.已知$x_{1},x_{2}$是关于x的一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5=0$的两个实数根.
(1)若$(x_{1}-1)(x_{2}-1)=28$,求m的值;
(2)已知等腰$\triangle ABC$的一边长为7,若$x_{1},x_{2}$恰好是$\triangle ABC$另外两边的长,求这个三角形的周长.

答案： 解:
(1) 由根与系数的关系得
$x_{1}+x_{2}=2(m+1), x_{1} x_{2}=m^{2}+5$,
$\because\left(x_{1}-1\right)\left(x_{2}-1\right)=28$,
$\therefore x_{1} x_{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)+1=28$,
$\left(m^{2}+5\right)-2(m+1)+1=28$,
$\therefore m^{2}-2 m-24=0$,
$\therefore m_{1}=-4, m_{2}=6$,
由 $\Delta \geqslant 0$ 得 $m \geqslant 2$, 故 $m=6$;
(2) 当底边为 7 时, 则两根相等,
$\therefore[-2(m+1)]^{2}-4\left(m^{2}+5\right)=0$,
$\therefore m=2$, 代人原方程, 解得 $x_{1}=x_{2}=3$, 不能构成三角形;
当腰为 7 时, 代人原方程可得 $m_{1}=4, m_{2}=10$.
当 $m=4$ 时, 原方程变为 $x^{2}-10 x+21=0$,
解得 $x_{1}=3, x_{2}=7$, 周长为 17 ;
当 $m=10$ 时, 原方程变为 $x^{2}-22 x+105=0$,
解得 $x_{1}=7, x_{2}=15$, 当 $x_{2}=15$ 时, 不能构成三角形,
综上所述, 这个三角形的周长为 17.