《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

3.正方形ABCD的边长为3,E,F分别是AB,BC边上的点,且$∠EDF=45^{\circ }$.将$△DAE$绕点D逆时针旋转$90^{\circ }$,得到$△DCM.$
(1)求证:F,C,M三点在一直线上;
(2)求证:$EF=FM;$
(3)当$AE=1$时,求EF的长.

答案： 证明:
(1) 由旋转的性质可知，
$ \angle DCM = \angle DAE = 90^\circ $，
$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，
$ \therefore \angle DCB = 90^\circ $，
$ \therefore F $，$ C $，$ M $ 三点在一直线上；
(2) 证明: $ \because \angle EDF = 45^\circ $，
$ \therefore \angle ADE + \angle FDC = 45^\circ $，
由旋转的性质可知，$ \angle CDM = \angle ADE $，$ DE = DM $，
$ \therefore \angle FDM = 45^\circ $，
$ \therefore \angle FDM = \angle EDF $，
在 $ \triangle EDF $ 和 $ \triangle MDF $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { DE = DM, } \\ { \angle EDF = \angle MDF, } \\ { DF = DF, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle EDF \cong \triangle MDF ( \text{SAS} ) $，
$ \therefore EF = FM $；
(3) 解: 设 $ EF = MF = x $，
$ \because AE = CM = 1 $，$ BC = 3 $，
$ \therefore BM = BC + CM = 3 + 1 = 4 $，
$ \therefore BF = BM - MF = BM - EF = 4 - x $，
$ \therefore EB = AB - AE = 3 - 1 = 2 $，
在 $ \text{Rt} \triangle EBF $ 中，由勾股定理，得
$ EB^2 + BF^2 = EF^2 $，即 $ 2^2 + ( 4 - x ) ^ { 2 } = x ^ { 2 } $，
解得 $ x = 2.5 $，
则 $ EF = 2.5 $．

4.如图,P是正$△ABC$内一点,$PA=3,PB=4,PC=5$,将$△ABP$逆时针旋转到$△ACQ$的位置.
(1)求PQ的长;
(2)求$∠APB$的度数.

答案： 解:
(1) $ \because \triangle ABC $ 是等边三角形，
$ \therefore \angle BAC = 60^\circ $，$ BA = BC $，
$ \because $ 将 $ \triangle ABP $ 逆时针旋转到 $ \triangle ACQ $ 的位置，
$ \therefore \triangle ABP \cong \triangle ACQ $，
$ \therefore AP = AQ $，$ \angle BAP = \angle CAQ $，
$ \therefore \angle PAQ = \angle BAC = 60^\circ $，
$ \therefore \triangle APQ $ 是等边三角形，
$ \therefore PQ = AP = 3 $；
(2) 由
(1) 知 $ \angle AQP = 60^\circ $，
$ \because \triangle ABP \cong \triangle ACQ $，
$ \therefore BP = CQ = 4 $，$ \angle APB = \angle AQC $，
$ \because PC = 5 $，
$ \therefore PQ^2 + CQ^2 = CP^2 $，
$ \therefore \triangle PCQ $ 是直角三角形，且 $ \angle PQC = 90^\circ $，
$ \therefore \angle AQC = \angle PQC + \angle AQP = 150^\circ $，
$ \therefore \angle APB = 150^\circ $．