《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

7.(例3)如图,在$△ABC$中,$AB=AC$,以AB为直径的$\odot O$交BC于点D,AC与$\odot O$交于点E,连接DE.
(1)连接AD,求证:$AD⊥BC,DB=DC;$
(2)求证:点B,C,E共圆,圆心为点D(提示:证$DB=DC=DE);$
(3)连接BE,证明:$BE⊥AC,∠CDE=∠A;$
(4)过点D作$DF⊥AC$交于点F,求证:$EF=CF,DF=\frac {1}{2}BE$且$DF// BE;$
(5)在(4)中,求证:$∠CDF=∠BAD,BC\cdot AD=AC\cdot BE.$

答案： $(1)$ 证明$AD\perp BC$，$DB = DC$
解：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角），即$AD\perp BC$。
又因为$AB = AC$，$\triangle ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合），所以$DB = DC$。
$(2)$ 证明点$B$，$C$，$E$共圆，圆心为点$D$
解：
连接$DE$。
因为$\angle BEC+\angle BAC = 180^{\circ}$（圆内接四边形对角互补，四边形$ABDE$是圆内接四边形），$\angle DEC+\angle BEC = 180^{\circ}$，所以$\angle DEC=\angle BAC$。
又因为$AB = AC$，$\angle ABC=\angle ACB$，$\angle ABC=\angle AED$（同弧所对的圆周角相等，弧$AD$所对的圆周角$\angle ABC$和$\angle AED$ ），所以$\angle DCE=\angle DEC$，则$DC = DE$。
由$(1)$知$DB = DC$，所以$DB = DC = DE$。
根据圆的定义（平面内到定点的距离等于定长的点的集合），点$B$，$C$，$E$到点$D$的距离相等，所以点$B$，$C$，$E$共圆，圆心为点$D$。
$(3)$ 证明$BE\perp AC$，$\angle CDE=\angle A$
解：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle AEB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角），即$BE\perp AC$。
因为$\angle CDE + \angle BDE=180^{\circ}$（平角为$180^{\circ}$），$\angle BDE+\angle A = 180^{\circ}$（圆内接四边形对角互补，四边形$ABDE$是圆内接四边形），所以$\angle CDE=\angle A$。
$(4)$ 证明$EF = CF$，$DF=\frac{1}{2}BE$且$DF// BE$
解：
因为$DE = DC$，$DF\perp AC$，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合），所以$EF = CF$。
因为$EF = CF$，$DB = DC$，所以$DF$是$\triangle CBE$的中位线。
根据三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半），所以$DF=\frac{1}{2}BE$且$DF// BE$。
$(5)$ 证明$\angle CDF=\angle BAD$，$BC\cdot AD = AC\cdot BE$
解：
证明$\angle CDF=\angle BAD$：
因为$DF// BE$，所以$\angle CDF=\angle CBE$（两直线平行，同位角相等）。
又因为$\angle CBE=\angle BAD$（同弧所对的圆周角相等，弧$DE$所对的圆周角$\angle CBE$和$\angle BAD$ ），所以$\angle CDF=\angle BAD$。
证明$BC\cdot AD = AC\cdot BE$：
$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD$（以$BC$为底，$AD$为高），$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BE$（以$AC$为底，$BE$为高）。
所以$BC\cdot AD = AC\cdot BE$。