《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

24.如图1,已知在$\text{Rt}\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$\angle C=30^{\circ}$,$AC=12\ \text{cm}$,过点$F$作直线$DF\perp BC$,交$AC$于点$D$,点$E$从点$A$出发沿$AB$以每秒$1\ \text{cm}$的速度向点$B$运动,点$F$从点$C$出发沿$CB$以每秒$\sqrt{3}\ \text{cm}$的速度向点$B$运动,运动时间为$t$秒$(0＜t＜6)$,连接$DE$.
(1)试用含$t$的式子表示$AE$,$AD$的长;
(2)当$t$为何值时,$\triangle DEF$为直角三角形?
(3)如图2,将$\triangle DEF$沿$DF$翻折得到$\triangle DFE'$,设$\triangle DFE'$与$\triangle ABC$重叠的面积为$S\ \text{cm}^{2}$,求直接写出$S$与$t$的函数解析式及$S$的最大值.

答案： 解:
(1)由题意，得AE=tcm，CF=$\sqrt{3}$tcm.在Rt△DCF中，∠C=30°，
∴DF=tcm，CD=2tcm，
∴AD=AC−CD=(12−2t)cm;
(2)由题意，得∠DFE＜90°，
∴分两种情况，
　①若∠EDF=90°，则四边形BFDE为矩形.
　此时∠ADE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD，即t=$\frac{1}{2}$(12−2t)，解得t=3;
　②若∠DEF=90°，
∴∠B=90°，DF⊥BC，
∴AB//DF，
　又
∵AE=DF=tcm，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF//AD
∴∠ADE=∠DEF=90°，
∴∠AED=90°−∠A=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE，即12−2t=$\frac{1}{2}$t，解得t=$\frac{24}{5}$.
　综上所述，当t的值为3或$\frac{24}{5}$时，△DEF为直角三角形.
(3)S = $\begin{cases}\frac{\sqrt{3}}{4}t^{2}(0 ＜ t \leq 4) \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}t^{2} + 3\sqrt{3}t(4 \leq t ＜ 6) \end{cases}$
∴S最大值为4$\sqrt{3}$cm².

25.抛物线对称轴为直线$x=4$,且过点$O(0,0)$,$B(-2,-10)$,$A$是抛物线与$x$轴另一个交点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)如图,点$C$从点$O$出发,沿$x$轴以每秒钟$1$个单位的速度运动,矩形$CDEF$内接于抛物线,$C$,$D$在$x$轴上,$E$,$F$在抛物线上,运动时间$t(0＜t＜4)$为何值时,内接矩形$CDEF$的周长最长?并求周长的最大值;
(3)在(2)中内接矩形$CDEF$的周长取得最大值的条件下,在$x$轴上是否存在点$P$使$\triangle PEF$为直角三角形($P$为直角顶点)?若存在,请求点$P$的坐标;若不存在,说明理由.

答案： 解:
(1)抛物线对称轴为x=4，又
∵过点O(0,0).
∴A(8,0)，
　设抛物线解析式为y=ax(x−8)，将B(−2,−10)代入得a=−$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y = -$\frac{1}{2}$x(x−8)= -$\frac{1}{2}$x²+4x;
(2)
∵C(t,0)，
∴F(t,-$\frac{1}{2}$t²+4t)，
∴CF=-$\frac{1}{2}$t²+4t，
由抛物线的对称性可知D(8−t,0)，
∴CD=8−t−t=8−2t，
∴矩形CDEF的周长为2(CF+CD)=2(-$\frac{1}{2}$t²+4t + 8 - 2t)= -t²+4t + 16，
∵−1＜0，二次函数C = -t²+4t + 16开口向下，
∴当t=2时，矩形CDEF的周长最大值为20;
(3)不存在
当t=2时，F(2,6)，E(6,6)，
∴EF=6−2=4，EF与x轴的距离为6，
以EF为直径的圆与x轴没有交点，
∴不存在点P，使△PEF为直角三角形(P为直角顶点).