《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

8. 如图, 在平面直角坐标系中, 一次函数$y_{1}=kx+b(k≠0)$与反比例函数$y_{2}=\frac {m}{x}(m≠0)$的图象交于$A,B$两点, 过点$A$作$AD⊥x$轴于$D,AO=5,\frac {AD}{OD}=\frac {4}{3}$, 且点$B$的坐标为$(n,-2)$.
(1) 直接写出反比例函数与一次函数的解析式;
(2) 请直接写出$y_{1}＞y_{2}$时,$x$的取值范围;
(3) 在$x$轴上是否存在一点$E$, 使$\triangle AOE$是等腰三角形? 若存在, 请求出所有符合条件的点$E$的坐标, 若不存在, 请说明理由.

答案： 解:
(1)反比例函数的解析式为$y_2=\frac{−12}{x}$，一次函数的解析式为$y_1=−\frac{2}{3}x+2$。
(2)$x＜−3$或$0＜x＜6$。
(3)存在。
①当$OA=AE=5$时，$DE=OD=3$，
$\therefore E(-6,0)$。
②当$OE=OA=5$时，$E(-5,0)$或$(5,0)$。
③当$AE=OE$时，点$E$在$AO$的垂直平分线上，
设$DE=t$，则$AE=\sqrt{4²+t²}$，$OE=3+t$。
$\therefore16+t²=(3+t)²$，解得$t=\frac{7}{6}$。
$\therefore OE=\frac{25}{6}$。
$\therefore E(-\frac{25}{6},0)$。
综上所述，点$E$的坐标为$(-6,0)$或$(-5,0)$或$(5,0)$或$(-\frac{25}{6},0)$。

9. 如图,$//ogram OABC$的顶点$O$在原点上, 顶点$A,C$分别在反比例函数$y=\frac {k}{x}(k≠0,x＞0),y=-\frac {10}{x}(x＜0)$的图象上, 对角线$AC⊥y$轴于点$D$, 已知点$D$的坐标为$D(0,5)$.
(1) 求点$C$的坐标;
(2) 若$//ogram OABC$的面积是$55$, 求$k$的值.

答案： 解:
(1)当$y=5$时，代入$y=-\frac{10}{x}$，得$x=-2$，$\therefore C(-2,5)$。
(2)$\because$四边形$OABC$是平行四边形，
$\therefore S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}S_{四边形OABC}=\frac{55}{2}$。
$\because DO=5$，$\therefore AC=11$。
又$\because CD=2$，$\therefore AD=11-2=9$。
$\therefore$点$A(9,5)$代入$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，得$k=45$。