《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1.如图,已知二次函数的图象过三个点$A(-1,0)$,$B(3,0)$,$C(0,-3)$.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求抛物线的对称轴;
(3)求抛物线的顶点坐标.

答案： 解:
(1)
∵二次函数图象过点A(−1,0)和B (3,0),
∴设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x−3)，把C(0,−3)代入,得a(0+1)(0−3)=−3,a=1,
∴y=(x+1)(x−3)=x²−2x−3;
(2)
∵y=x²−2x−3=x²−2x+1−4=(x−1)²−4,
∴抛物线的对称轴x=1;
(3)
∵y=(x−1)²−4,
∴抛物线的顶点坐标为(1,−4).

2.如图,已知抛物线$y=x^{2}-2x-3$与$x$轴交于点$A$,$B$,与$y$轴交于点$C$.
(1)求点$A$,$B$,$C$的坐标;
(2)求$S_{\triangle ABC}$;
(3)若点$P$在抛物线上,且$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle ABC}$,求点$P$的坐标.

答案： 解:
(1)当x=0时,y=−3,
∴C(0,−3),
　当y=0时,x²−2x−3=0,
　(x−3)(x+1)=0,
　x₁=3或x₂=−1,
∴A(−1,0),B(3,0);
(2)
∵A(−1,0),B(3,0),
∴AB=3 + 1 = 4,
∵C(0,−3),
∴OC=3,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AB·OC=$\frac{1}{2}$×4×3 = 6;
(3)当y=3时,x²−2x−3=3,
　x²−2x=6,
　(x−1)²=7,
　x−1=±$\sqrt{7}$,
　x=1±$\sqrt{7}$
　当y=−3时,x²−2x−3=−3,
　x²−2x=0,
　x₁=0(舍去),x₂=2.
∴点P的坐标(1+$\sqrt{7}$,3)或(1−$\sqrt{7}$,3)或(2,−3).