《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

12. 如图, 一次函数$y=k_{1}x+b$的图象与反比例函数$y=\frac {k_{2}}{x}$的图象相交于$A,B$两点, 其中点$A$的坐标为$(-1,4)$, 点$B$的坐标为$(4,n)$.
(1) 根据图象, 直接写出满足$k_{1}x+b＞\frac {k_{2}}{x}$的$x$的取值范围;
(2) 求这两个函数的解析式;
(3) 点$P$在线段$AB$上, 且$S_{\triangle AOP}:S_{\triangle BOP}=1:2$, 求点$P$的坐标.

答案：
解:
(1)$x＜−1$或$0＜x＜4$。
(2)$\because$反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象过点$A (-1,4)$，$B(4,n)$，
$\therefore k_2=(-1)×4=-4$，$k_2=4n$。
$\therefore n=-1$。
$\therefore$点$B(4,-1)$。
$\because$一次函数$y=k_1x+b$的图象过点$A$，$B$，
$\therefore\begin{cases}-k_1+b=4\\4k_1+b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=-1\\b=3\end{cases}$。
$\therefore$一次函数的解析式为$y=-x+3$，反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
(3)设直线$AB$与$y$轴的交点为点$C$，如图所示。

$\therefore C(0,3)$。
$\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×3×4=\frac{15}{2}$。
$\because S_{\triangle AOP}:S_{\triangle BOP}=1:2$，
$\therefore S_{\triangle AOP}=\frac{15}{2}×\frac{1}{3}=\frac{5}{2}$。
$\therefore S_{\triangle COP}=S_{\triangle AOP}-S_{\triangle AOC}=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。
$\therefore\frac{1}{2}×3\cdot x_P=1$，则$x_P=\frac{2}{3}$。
$\because$点$P$在线段$AB$上，
$\therefore y_P=-\frac{2}{3}+3=\frac{7}{3}$。
$\therefore$点$P$的坐标为$(\frac{2}{3},\frac{7}{3})$。