《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

7.已知抛物线$y=x^{2}-2x-3$与坐标轴交于点$A(-1,0)$,$B(3,0)$,$C(0,-3)$.如图,连接$AC$,$P$是$x$轴上一点,当$\triangle PAC$是等腰三角形时,求点$P$的坐标.

答案： 解:
∵OA=1，OC=3，
∴AC=$\sqrt{10}$，
　①当PA=AC时，
∴P($\sqrt{10}$−1,0)或(−$\sqrt{10}$−1,0);
　②当PC=AC时，
∵AC=PC，
∴P(1,0);
　③
∵当PA=PC时，PA=PC，x + 1 = $\sqrt{x²+3²}$，
∴x=4.
∴P(4,0).
　综上，点P的坐标为($\sqrt{10}$−1,0)或(−$\sqrt{10}$−1,0)或(1,0)或(4,0).

8.如图,直线$y=x-3$与抛物线$y=x^{2}-2x-3$交于点$B$,$C$,点$F$在线段$BC$上,$EF\perp x$轴,点$E$在抛物线上.
(1)若点$F$的横坐标为$m$,请用含$m$的代数式表示$EF$的长;
(2)求线段$EF$的最大值;
(3)连接$CE$,$BE$,求$\triangle BCE$面积的最大值.

答案： 解:
(1)设F的坐标为(m,m−3)，则E点的坐标为(m,m²−2m−3)，
∴EF=(m−3)−(m²−2m−3)
=m−3−m²+2m + 3
=−m²+3m;
(2)由
(1)得EF=-(m - $\frac{3}{2}$)²+$\frac{9}{4}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，EF最大值为$\frac{9}{4}$;
(3)把y=0代入y = x - 3得x - 3 = 0，
∴x=3，
∴OB=3，
　S△BCE=$\frac{1}{2}$EF·OB
　=$\frac{1}{2}$(−m²+3m)×3
=−$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m
=−$\frac{3}{2}$(m - $\frac{3}{2}$)²+$\frac{27}{8}$，
∴△BCE面积的最大值为$\frac{27}{8}$.