《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

35.(例14)我们知道,计算n边形的对角线条数公式为:$\frac {1}{2}n(n-3)$.如果一个n边形共有20条对角线,那么可以得到方程$\frac {1}{2}n(n-3)=20$.整理得$n^{2}-3n-40=0$,解得$n=8$或$n=-5.$
$\because n≥3,\therefore n=-5$不合题意,舍去.$\therefore n=8$,即该多边形是八边形.
根据以上内容,解答下列问题:
(1)若一个多边形共有14条对角线,则这个多边形的边数是多少?
(2)A同学说:“我求得一个多边形共有10条对角线.”你认为A同学的说法正确吗?为什么?

答案： 解:
(1) 设这个多边形的边数为 $n$, 根据题意得 $\frac{1}{2} n(n-3)=14$, 整理得 $n^{2}-3 n-28=0$, 解得 $n=7$ 或 $n=-4$.
$\because n \geqslant 3, \therefore n=-4$ 不合题意, 舍去,
$\therefore n=7$, 即这个多边形的边数是 7 ;
(2) A 同学的说法不正确. 理由如下:
设这个多边形的边数为 $n$, 则 $\frac{1}{2} n(n-3)=10$, 整理得 $n^{2}-3 n-20=0$, 解得 $n=\frac{3 \pm \sqrt{89}}{2}$.
$\because$ 符合方程 $n^{2}-3 n-20=0$ 的正整数 $n$ 不存在,
$\therefore \mathrm{A}$ 同学的说法不正确.

36.某种植物主干长出若干数目的支干,每个支干长出相同数目的分支,主干、分支、小分支的总数为241,求每个支干长出多少个分支?若设主干有x个分支,依题意列方程正确的是(B)
A.$1+x+x(x+1)=241$
B.$1+x+x^{2}=241$
C.$1+(x+1)+(x+1)^{2}=241$
D.$1+(x+1)+x^{2}=241$

答案： B 解析: 由主干有 $x$ 个分支, 得小分支有 $x^{2}$ 个, 依据题意, 得 $1+x+x^{2}=241$, 故选 B.

37.《九章算术》“勾股”章有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”题意为:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长一丈,那么门的宽和高各是多少?$(1丈=10尺,1尺=10寸)$

答案： 解: 设门的宽为 $x$ 尺, 则高为 $(x+6.8)$ 尺, 根据题意, 得 $x^{2}+(x+6.8)^{2}=10^{2}$,
整理, 得 $2 x^{2}+13.6 x-53.76=0$,
解得 $x_{1}=2.8, x_{2}=-9.6$ (舍去),
$\therefore x+6.8=9.6$.
答: 门的宽为 2 尺 8 寸, 高为 9 尺 6 寸.