《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

15.(例9)如图,CA,CD是$\odot O$的切线,切点分别为A,D,AB是$\odot O$的直径,连接AD.
(1)求证:$∠C=2∠BAD;$
(2)若$AC=8,AB=12$,求AD的长.

答案：
（例 9）（1）证明：如图，连接$$OD$$，
由圆周角定理，得$$\angle B O D = 2 \angle B A D $$，
$\because C A $$，$$C D $$ 是$$\odot O $$ 的切线，$
\therefore O A \perp A C $$，$$O D \perp C D $$，
$\therefore \angle A O D + \angle A C D = 180 ^ { \circ } $$，$
\because \angle A O D + \angle B O D = 180 ^ { \circ } $$，
$\therefore \angle B O D = \angle A C D $$，$
\therefore \angle A C D = 2 \angle B A D $$；

（2）解：如图，连接$$OC $$ 交$$AD $$ 于点$$E $$，
$\because A B = 12 $$，$
\therefore O A = 6 $$，
由勾股定理，得$$O C = \sqrt { A C ^ { 2 } + O A ^ { 2 } } = 10 $$，
$\because C A = C D $$，$$O A = O D $$，$
\therefore O C $$ 垂直平分$$AD $$，
$\therefore A D = 2 A E $$，$
\because S _ { \triangle O A C } = \frac { 1 } { 2 } A C \cdot O A = \frac { 1 } { 2 } O C \cdot A E $$，
$\therefore \frac { 1 } { 2 } × 8 × 6 = \frac { 1 } { 2 } × 10 × A E $$，解得$$A E = \frac { 24 } { 5 } $$，$
\therefore A D = 2 A E = \frac { 48 } { 5 } $$．