《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

4.(例2)如图,在$\odot O$中,直径AB和弦CD相交于点E,已知$AE=1cm,EB=5cm$,且$∠DEB=60^{\circ },$求CD的长.

答案： 本题可先求出圆的半径，再通过作辅助线构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求出弦$CD$的长。\n**步骤一：求出圆的半径和$OE$的长度**
已知$AE = 1cm$，$EB = 5cm$，则圆的直径$AB = AE + EB = 1 + 5 = 6cm$，所以圆的半径$R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×6 = 3cm$。
$OE = OA - AE = 3 - 1 = 2cm$。\n**步骤二：过点$O$作$OF\perp CD$于点$F$，求出$OF$的长度**
因为$\angle DEB = 60^{\circ}$，$\angle OFE = 90^{\circ}$，所以在$Rt\triangle OEF$中，$\angle EOF = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$。
根据$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，可得$EF = \frac{1}{2}OE = \frac{1}{2}×2 = 1cm$。
再根据勾股定理$OF = \sqrt{OE^{2} - EF^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}cm$。\n**步骤三：连接$OD$，求出$DF$的长度**
在$Rt\triangle ODF$中，$OD = R = 3cm$，$OF = \sqrt{3}cm$，根据勾股定理$DF = \sqrt{OD^{2} - OF^{2}} = \sqrt{3^{2} - (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{9 - 3} = \sqrt{6}cm$。\n**步骤四：根据垂径定理求出$CD$的长度**
因为$OF\perp CD$，根据垂径定理可知$CF = DF$，所以$CD = 2DF = 2\sqrt{6}cm$。
综上，弦$CD$的长为$2\sqrt{6}cm$。

5.如图,AB是$\odot O$的直径,P为AB上一点,过点P作弦MN,$∠NPB=45^{\circ },MP=3,NP=5$,求AB的长.

答案： 则由垂径定理得
$NE = ME = \frac { 1 } { 2 } × ( 3 + 5 ) = 4$
$\therefore PE = 4 - 3 = 1$
$\because $在$\mathrm { Rt } \triangle OPE$中，$\angle NPB = 45 ^ { \circ }，$$\therefore \angle EOP = \angle NPB = 45 ^ { \circ }，$
$\therefore OE = PE = 1，$在$\mathrm { Rt } \triangle NEO$中，由勾股定理得$ON = \sqrt { NE ^ { 2 } + OE ^ { 2 } } = \sqrt { 4 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 17 }，$
$\therefore AB = 2 ON = 2 \sqrt { 17 }．$

6.如图,已知AB是$\odot O$的直径,弦CD交AB于点E,$∠CEA=30^{\circ },OE=4,DE=5\sqrt {3}$,求弦CD及$\odot O$的半径长.

答案：
解：如图，过点O作$OM \perp CD$于点M，连接OD，

$\because \angle CEA = 30 ^ { \circ }，$$\therefore \angle OEM = \angle CEA = 30 ^ { \circ }，$
在$\mathrm { Rt } \triangle OEM$中，$\because OE = 4，$
$\therefore OM = \frac { 1 } { 2 } OE = 2，$$EM = \sqrt { OE ^ { 2 } - OM ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 3 }，$
$\because DE = 5 \sqrt { 3 }，$$\therefore DM = DE - EM = 3 \sqrt { 3 }，$
$\because OM$过圆心，$OM \perp CD，$$\therefore CD = 2 DM，$
$\therefore CD = 6 \sqrt { 3 }，$$\because OM = 2，$$DM = 3 \sqrt { 3 }，$
$\therefore $在$\mathrm { Rt } \triangle DOM$中，$OD = \sqrt { OM ^ { 2 } + DM ^ { 2 } } = \sqrt { 2 ^ { 2 } + ( 3 \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } = \sqrt { 31 }，$
$\therefore $弦CD的长为$6 \sqrt { 3 }，$$\odot O$的半径长为$\sqrt { 31 }．$