《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

6.(例3)求证:不论x取何值,代数式$x^{2}-6x+10$的值总是正数.

答案： 证明: 原式 $=(x-3)^{2}+1$,
$\because(x-3)^{2} \geqslant 0$,
$\therefore(x-3)^{2}+1＞0$,
故不论 $x$ 取何值, 代数式 $x^{2}-6 x+10$ 的值都是一个正数.

7.求证:不论x,y为任何实数,代数式$x^{2}+y^{2}+2x-4y+7$的值不小于2.

答案： 证明: 把代数式配方, 得 $(x+1)^{2}+(y-2)^{2}+2$,
$\because(x+1)^{2} \geqslant 0,(y-2)^{2} \geqslant 0$,
$\therefore(x+1)^{2}+(y-2)^{2}+2 \geqslant 2$,
故不论 $x, y$ 为任何实数, 代数式 $x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+7$ 的值不小于 2.

8.试说明无论a取何值关于x的方程$(a^{2}-8a+20)x^{2}+2ax+1=0$都是一元二次方程.

答案： 解: $\because a^{2}-8 a+20=(a-4)^{2}+4$, 又 $\because(a-4)^{2} \geqslant 0, \therefore a^{2}-8 a+20 \neq 0$,
$\therefore$ 关于 $x$ 的方程 $\left(a^{2}-8 a+20\right) x^{2}+2 a x+1=0$ 无论 $a$ 取何值, 该方程都是一元二次方程.