《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

17.(例11)如图,$Rt△ABC$中,$∠C=90^{\circ },AB,BC,CA$的长分别为c,a,b,$\odot O$是$Rt△ABC$的内切圆,半径为r.求证:$r=\frac {ab}{a+b+c}=\frac {a+b-c}{2}.$

答案：
（例 11）证明：如图，过点O 作$O D \perp A B $于点D ，$O E \perp B C $于点E ，$O F \perp A C $于点F ，连接A O ，B O ，C O ，

$\because \odot O $是$\triangle A B C $的内切圆，$\therefore O D = O E = O F = r ，$
$\because \angle A C B = 90 ^ { \circ } ，$A B = c ，B C = a ，AC = b ，$\therefore S _ { \triangle A B C } = \frac { 1 } { 2 } A C \cdot B C = \frac { 1 } { 2 } a b ，$
answer:解：（1）如图 1，过I 作$I E \perp A B $于点E ，$I F \perp A C $于点F ，$I G \perp B C $于点G ，$ \because A C = 8 ，$B C = 6 ，
$\therefore A B = 10 ，$$\because I $是$\triangle A B C $的内心，
$\therefore C F = C G ，$A F = A E ，$B E = B G ．\therefore C F + C G = C A + C B - A B = 4 ，$
$\therefore C F = C G = 2 ，$$\therefore A F = 6 ．$
$\therefore A I = 2 \sqrt { 10 } ．（2）$如图 2，连接A D ，B D ，C D ，则$\angle C A I = \angle B A I ，$$ \because \overparen { A D } = \overparen { B D } ，$
$\therefore A D = B D ，$$\angle A C I = \angle B C I = 45 ^ { \circ } ，$$\therefore C D $是$\angle A C B $的平分线，
$\therefore $点I 在线段C D 上，$\because \angle C A I = \angle B A I ，$$\angle A C I = \angle B C I = \angle B A D ，$
$\therefore \angle A I D = \angle C A I + \angle A C I = \angle B A I + \angle B A D = \angle D A I ，$$\therefore A D = I D ，$
$\therefore A B $为$\odot O $的直径，A D = B D ，$\therefore \triangle A B D $是等腰直角三角形，
$\therefore A D = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } A B = 5 \sqrt { 2 } ，$即$I D = 5 \sqrt { 2 } ．$

18.如图,AB为$\odot O$的直径,C为$\odot O$上一点,点I为$△ABC$的内心,$AC=8,BC=6.$
(1)求AI的长;
(2)若$\widehat {AD}=\widehat {BD}$,求ID的长.

答案：