《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

3.(例2)已知m,n是方程$x^{2}-2x-1=0$的两个根.求$2m^{2}-4m+2025$的值.

答案： 解: $\because m$ 是方程 $x^{2}-2 x-1=0$ 的一个根, $\therefore m^{2}-2 m-1=0, \therefore m^{2}-2 m=1, \therefore 2 m^{2}-4 m+2025=2\left(m^{2}-2 m\right)+2025=2 × 1+2025=2027$.

4.已知实数a是一元二次方程$x^{2}-2022x+1=0$的一个根,求代数式$a^{2}-2021a-\frac {a^{2}+1}{2022}$的值.

答案： 解: 由题意可得, $a^{2}-2022 a+1=0$,
$\therefore a^{2}+1=2022 a, a^{2}-2021 a=a-1$,
$\therefore a^{2}-2021 a-\frac{a^{2}+1}{2022}=a-1-\frac{2022 a}{2022}=a-1-a=-1$

5.若$x_{0}$是方程$ax^{2}+2x+c=0(a≠0)$的一个根,设$M=1-ac,N=(ax_{0}+1)^{2}$.
(1)求$a^{2}x_{0}^{2}+2ax_{0}+ac$的值;
(2)求$M-N$的值.

答案： 解:
(1) $\because x_{0}$ 是方程 $a x^{2}+2 x+c=0(a \neq 0)$ 的一个根,
$\therefore a x_{0}^{2}+2 x_{0}+c=0$,
$\because$ 原式 $=a\left(a x_{0}^{2}+2 x_{0}+c\right)=0$,
$\therefore a^{2} x_{0}^{2}+2 a x_{0}+a c=0$;
(2) $\because a^{2} x_{0}^{2}+2 a x_{0}+a c=0$,
$\therefore a^{2} x_{0}^{2}+2 a x_{0}=-a c$,
$\therefore M-N=1-a c-\left(a x_{0}+1\right)^{2}=1-a c-\left(a^{2} x_{0}^{2}+2 a x_{0}+1\right)=1-a c-(-a c+1)=1-a c+a c-1=0$.