《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

12.如图1,在等腰$\triangle ABC$中,$AB=AC$,点$P$,$Q$从点$B$同时出发,点$P$以$\sqrt{3}\ \text{cm/s}$的速度沿$BC$方向运动到点$C$停止,点$Q$以$1\ \text{cm/s}$的速度沿$BA\rightarrow AC$方向运动到点$C$停止.若$\triangle BPQ$的面积为$y\ \text{cm}^{2}$,运动时间为$x\ \text{s}$,则$y$与$x$之间的函数关系图象如图2所示,则$BC$长为(D)
A.$4\ \text{cm}$
B.$8\ \text{cm}$
C.$8\sqrt{3}\ \text{cm}$
D.$4\sqrt{3}\ \text{cm}$

答案： D

13.如图,抛物线$y=x^{2}-2x-3$与$y$轴交于点$A$,与$x$轴的负半轴交于点$C$,点$M$是对称轴上的一个动点,连接$AM$,$CM$,当$|AM-CM|$最大时,点$M$的坐标是(D)
A.$(1,4)$
B.$(1,2)$
C.$(1,-2)$
D.$(1,-6)$

答案： D解析:当x=0时，y=−3，则C(0,−3)，当y=0时，x²−2x−3=0，解得x₁=−1，x₂=3，则A(−1,0)，B(3,0).
∴抛物线的对称轴为直线x=1，当A，C，M共线时，|AM - CM|最大，延长AC交直线x=1于点M，设直线AC的解析式为y=mx+n，把A(−1,0)，C(0,−3)代入得$\begin{cases}n - m = 0 \\ n = -3 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -3 \\ n = -3 \end{cases}$，
∴直线AC的解析式为y = -3x - 3，当x=1时，y = -3x - 3 = -6，即M(1,−6)，
∴当|AM - CM|达到最大值时，点M的坐标为(1,−6).故选D

14.如图,某农户计划用长$12\ \text{m}$的篱笆围成一个"日"字形的生物园饲养两种不同的家禽,生物园的一面靠墙,且墙的可利用长度最长为$7\ \text{m}$.
(1)若生物园的面积为$9\ \text{m}^{2}$,则这个生物园垂直于墙的一边长为多少?
(2)若要使生物园的面积最大,该怎样围?

答案： 解:设这个生物园垂直于墙的一边长为xm，
(1)由题意，得x(12−3x)=9，
　解得x₁=1(不合题意，舍去)，x₂=3，
　答:这个生物园垂直于墙的一边长为3m;
(2)设围成生物园的面积为ym².
　由题意，得y=x(12−3x)=−3(x−2)²+12，
∵$\begin{cases}12 - 3x \leq 7 \\ 12 - 3x ＞ 0 \end{cases}$，解得$\frac{5}{3}$≤x＜4，
∴当x=2时，y最大值=12，12−3x=6，
　答:生物园垂直于墙的一边长为2m，平行于墙的一边长为6m时，围成生物园的面积最大，且为12m².