《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

5.如图,点D,E在线段BC上,$△ADE$是等边三角形,且$∠BAC=120^{\circ }.$
(1)求证:$△ABD\backsim △CAE;$
(2)若$BD=2,CE=8$,求BC的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵△ADE是等边三角形，∠BAC=120°,
∴∠ADE=∠AED=∠DAE=60°,
∴∠BAD+∠EAC=60°,
∵∠BAD+∠B=60°,
∴∠B=∠EAC,
　又
∵∠ADB=∠AEC=120°,
∴△ABD∽△CAE;
(2)
∵△ABD∽△CAE,AD=AE=DE,
∴$\frac{BD}{AE}$=$\frac{AD}{CE}$,
　即AD²=BD·CE=16,
　解得AD=4,则DE=4,
∴BC=BD+DE+EC=14.

6.如图,在$△ABC$中,$∠C=90^{\circ },BC=8cm,4AC-3BC=0$,点P从点B出发,沿$B→C$方向以2 cm/s的速度移动,点Q从点C出发,沿$C→A$方向以1 cm/s的速度移动,若点P,Q分别从点B,C同时出发$(0＜t≤4)$,经过多少秒时,$△CPQ$与$△CBA$相似?

答案： 解:
∵BC=8cm,4AC−3BC=0,
∴AC=6cm.
　设经过t秒时,△CPQ与△CBA相似,则CQ=t,CP=8−2t,分以下两种情况:
　①$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$,即$\frac{8−2t}{8}$=$\frac{t}{6}$,解得t=$\frac{12}{5}$,
　②$\frac{CQ}{CB}$=$\frac{CP}{CA}$,即$\frac{t}{8}$=$\frac{8−2t}{6}$,解得t=$\frac{32}{11}$,
　答:经$\frac{12}{5}$s或$\frac{32}{11}$s时,△CPQ与△CBA相似