《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

16.对于实数p,q,我们用符号$min\{ p,q\} $表示p,q两数中较小的数,如$min\{ 1,2\} =1.$
(1)$min\{ -2\sqrt {3},-3\sqrt {2}\} =$$-3\sqrt{2}$;
(2)若$min\{ (x-1)^{2},x^{2}\} =1$,求x的值.
解: 当 $(x-1)^{2}＜x^{2}$, 即 $x＞\frac{1}{2}$ 时, 则 $(x-1)^{2}=1, x-1= \pm 1, x-1=1$ 或 $x-1=-1$, 解得 $x_{1}=2, x_{2}=0$ (不合题意, 舍去); 当 $(x-1)^{2}＞x^{2}$ 时, 即 $x＜\frac{1}{2}$ 时, 则 $x^{2}=1$, 解得 $x_{1}=1$ (不合题意, 舍去), $x_{2}=-1$, 综上所述, $x$ 的值为 2 或 -1.

答案： 解:
(1) $-3 \sqrt{2}$
(2) 当 $(x-1)^{2}＜x^{2}$, 即 $x＞\frac{1}{2}$ 时, 则 $(x-1)^{2}=1, x-1= \pm 1, x-1=1$ 或 $x-1=-1$, 解得 $x_{1}=2, x_{2}=0$ (不合题意, 舍去); 当 $(x-1)^{2}＞x^{2}$ 时, 即 $x＜\frac{1}{2}$ 时, 则 $x^{2}=1$, 解得 $x_{1}=1$ (不合题意, 舍去), $x_{2}=-1$, 综上所述, $x$ 的值为 2 或 -1.

17.(例8)关于x的方程$(m+1)x^{2}-4mx+4m-2=0$有两个不相等的实数根,求m的取值范围.

答案： 解: $\because$ 关于 $x$ 的方程 $(m+1) x^{2}-4 m x+4 m-2=0$ 有两个不相等的实数根,
$\therefore \Delta=b^{2}-4 a c=(-4 m)^{2}-4(m+1)(4 m-2)＞0$, 且 $m+1 \neq 0$,
解得 $m＜1$ 且 $m \neq-1$,
则 $m$ 的取值范围是 $m＜1$ 且 $m \neq-1$.

18.已知关于x的方程$x^{2}-5x-m^{2}-2m-7=0.$
(1)若此方程的一个根为-1,求m的值;
(2)求证:无论m取何实数,此方程总有两个不相等的实数根.

答案：
(1) 解: 把 $x=-1$ 代人 $x^{2}-5 x-m^{2}-2 m-7=0$, 得 $1+5-m^{2}-2 m-7=0$, 解得 $m_{1}=m_{2}=-1$, 即 $m$ 的值为 -1 ;
(2) 证明: $\Delta=(-5)^{2}-4\left(-m^{2}-2 m-7\right)=4(m+1)^{2}+49$,
$\because 4(m+1)^{2} \geqslant 0$,
$\therefore \Delta＞0$,
$\therefore$ 无论 $m$ 取何实数, 方程都有两个不相等的实数根.