《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

9.(例5)如图1,AB是$\odot O$的直径,AD平分$∠BAC$,连接OD,交BC于点E;
(1)求证:$\widehat {CD}=\widehat {BD},OD⊥BC,OE=\frac {1}{2}AC$且$OE// AC;$
(2)求证:$∠BAD=∠CAD=∠ADO;$
(3)如图2,分别延长AC,BD交于点G,若$AB=AG$.求证:$BD=DG;$
(4)若$∠ABC=30^{\circ }$时,求证:$AB+AC=\sqrt {3}AD;$
(5)若$AB=13,AC=5$,求AD的长.

答案： $(1)$ 证明
- 证明$\widehat{CD}=\widehat{BD}$：
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD = \angle CAD$。
根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，可得$\widehat{CD}=\widehat{BD}$。
证明$OD\perp BC$：
连接$OC$，$OB$，因为$\widehat{CD}=\widehat{BD}$，$OC = OB$（半径相等），所以$OD\perp BC$（垂径定理的推论：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦）。
证明$OE=\frac{1}{2}AC$且$OE// AC$：
因为$O$是$AB$中点，$OD\perp BC$，所以$E$是$BC$中点（垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，这里可推出$E$为$BC$中点）。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，在$\triangle ABC$中，$O$是$AB$中点，$E$是$BC$中点，所以$OE=\frac{1}{2}AC$且$OE// AC$。
$(2)$ 证明
因为$OA = OD$（半径相等），所以$\angle BAD=\angle ADO$（等边对等角）。
又因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD = \angle CAD$。
所以$\angle BAD=\angle CAD=\angle ADO$。
$(3)$ 证明
连接$AD$，因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角），即$AD\perp BG$。
又因为$AB = AG$，根据等腰三角形三线合一（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合），所以$BD = DG$。
$(4)$ 证明
连接$BD$，因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB=\angle ACB = 90^{\circ}$。
已知$\angle ABC = 30^{\circ}$，则$\angle BAC=60^{\circ}$，因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\angle CAD = 30^{\circ}$。
设$BD=x$，在$Rt\triangle ABD$中，$AB = 2x$（$30^{\circ}$所对直角边是斜边的一半），$AD=\sqrt{3}x$（勾股定理：$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$）。
在$Rt\triangle ABC$中，$AC=x$（$\angle ABC = 30^{\circ}$，$AC=\frac{1}{2}AB$），所以$AB + AC=2x+x=3x$，$\sqrt{3}AD=\sqrt{3}×\sqrt{3}x = 3x$。
所以$AB + AC=\sqrt{3}AD$。
$(5)$ 解
连接$BC$，$BD$，因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB=\angle ADB = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}} = 12$。
由$(1)$知$OE=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}$，$BE=\frac{1}{2}BC = 6$，$OB=\frac{1}{2}AB=\frac{13}{2}$。
则$DE=OD - OE=OB - OE=\frac{13}{2}-\frac{5}{2}=4$。
在$Rt\triangle BDE$中，$BD=\sqrt{BE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{6^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{13}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{13^{2}-(2\sqrt{13})^{2}}=\sqrt{169 - 52}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$。
综上，$(1)$、$(2)$、$(3)$、$(4)$得证，$(5)$中$AD$的长为$\boldsymbol{3\sqrt{13}}$。