《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

14.(例8)如图,AB为$\odot O$的直径,C为$\odot O$上一点,AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D,AD交$\odot O$于点E.
(1)求证:AC平分$∠DAB;$
(2)连接CE,若$CE=6,AC=8$,直接写出$\odot O$的直径的长为____;
(3)在(2)的条件下,求AE的长.

答案：
（例 8）（1）证明：如图，连接OC，

$\because C D $是$\odot O $的切线，$\therefore C D \perp O C ，$
又$\because C D \perp A D ，$
$\therefore A D // O C ，$$\therefore \angle C A D = \angle A C O ，$
$\because O A = O C ，$$\therefore \angle C A O = \angle A C O ，$
$\therefore \angle C A D = \angle C A O ，$即A C 平分$\angle D A B ．（2）10$
（3）解：如图，过点O 作$O F \perp A E $于点F ，D F = O C = 5 ，设A F = E F = x ，则A D = 5 + x ，D E = 5 - x ，
$\therefore C E ^ { 2 } - D E ^ { 2 } = A C ^ { 2 } - A D ^ { 2 } ，$$\therefore 6 ^ { 2 } - ( 5 - x ) ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } - ( 5 + x ) ^ { 2 } ，$解得$x = \frac { 7 } { 5 } ，$
$\therefore A E = 2 x = \frac { 14 } { 5 } ．$