《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

9.如图,AD是$△ABC$的外接圆$\odot O$的直径,点P在BC延长线上,且满足$∠PAC=∠B.$
(1)求证:PA是$\odot O$的切线;
(2)弦$CE⊥AD$交AB于点F,若$AF\cdot AB=12$,求AC的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°,
∴∠CAD+∠D=90°,
∵∠PAC=∠B,∠D=∠B,
∴∠CAD+∠PAC=90°,
∴∠PAD=90°,
∴PA⊥AD,
∵点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线;
(2)
∵CE⊥AD,
∴∠ACF+∠CAD=90°,
∵∠CAD+∠D=90°,
∴∠D=∠ACF,
∴∠B=∠ACF,
∵∠BAC=∠CAF,
∴△ABC∽△ACF,
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$,
∴AC²=AF·AB,
∵AF·AB=12,
∴AC²=12,
∴AC=2√3;

10.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作$AF⊥DE$,垂足为F,$\odot O$经过点C,D,F,与AD相交于点G.
(1)求证:$△AFG\backsim △DFC;$
(2)若正方形ABCD的边长为4,$AE=1$,求$\odot O$的半径.

答案：

(1)证明:在正方形ABCD中,∠ADC=90°,
∴∠CDF+∠ADF=90°,
∵AF⊥DE,
∴∠AFD=90°,
∴∠DAF+∠ADF=90°,
∴∠DAF=∠CDF.
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF=180°,
∵∠FGA+∠DGF=180°,
∴∠FGA=∠FCD,
∴△AFG∽△DFC;
(2)解:如图,连接CG
　　　　　
∵∠EAD=∠AFD=90°,
　∠EDA=∠ADF,
∴△EDA∽△ADF,
∴$\frac{EA}{AF}$=$\frac{DA}{DF}$,即$\frac{EA}{DA}$=$\frac{AF}{DF}$,
∵△AFG∽△DFC，
∴$\frac{AG}{DC}$=$\frac{AF}{DF}$
∴$\frac{AG}{DC}$=$\frac{EA}{DA}$,
　在正方形ABCD中,DA=DC,
∴AG=EA=1,DG=DA−AG=4−1=3,
∴CG=√DG²+DC²=5,
∵∠CDG=90°,
∴CG是⊙O的直径，即⊙O的半径为$\frac{5}{2}$.