《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

3.如图,已知抛物线$y=x^{2}-2x-3$与坐标轴于$A(-1,0)$,$B(3,0)$,$C(0,-3)$,点$P$是对称轴上一点.
(1)当$PB+PC$达到最小值时,求$P$的坐标;
(2)当$PA+PC$达到最小值时,求$P$的坐标;
(3)连接$AC$,当$\triangle ACP$的周长达到最小值时,求点$P$的坐标.

答案：
解:
(1)两点之间线段最短，
∴PB+PC=BC时为最小值，P恰好在BC连接与x=1的交点处，设BC:y = kx + b(k≠0)，代入B，C坐标得$\begin{cases}3k + b = 0 \\ b = -3 \end{cases}$，
∴$\begin{cases}k = 1 \\ b = -3 \end{cases}$
∴y = x - 3，
∴当x = 1时，y = -2，
∴P(1,-2);
　　　　　
(2)
∵点A，B关于抛物线的对称轴对称，
∴如上图，连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC的值最小，
　由
(1)知点P的坐标为(1,−2);
(3)由
(2)知连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC的值最小，即△PAC周长的值最小，
　由
(1)知点P的坐标为(1,−2).

4.如图,已知抛物线$y=x^{2}-2x-3$与坐标轴交于$A(-1,0)$,$B(3,0)$,$C(0,-3)$.
(1)已知点$P$是直角坐标系中的一点,且以点$A$,$B$,$C$,$P$构成平行四边形,则$P$的坐标为(4,−3)或(−4,−3)或(2,3).
(2)若点$P$是抛物线上一点,点$H$在$x$轴上,当以点$A$,$C$,$P$,$H$构成平行四边形时,求点$P$的坐标.
①当以$AC$为边时,$P$的坐标为(2,−3),(1 + $\sqrt{7}$,3)或(1 - $\sqrt{7}$,3);
②当以$AC$为对角线时,$P$的坐标为(2,−3);
③综上所述,$P$的坐标为(2,−3),(1 + $\sqrt{7}$,3),(1 - $\sqrt{7}$,3).

答案：
(1)(4,−3)或(−4,−3)或(2,3)
(2)①(2,−3),(1 + $\sqrt{7}$,3)或(1 - $\sqrt{7}$,3)
　②(2,−3)
　③(2,−3),(1 + $\sqrt{7}$,3),(1 - $\sqrt{7}$,3)