《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

16.(例10)如图,AB,BC,CD分别与$\odot O$相切于E,F,G三点,且$AB// CD.$
(1)求证:$BC=BE+CG;$
(2)若$BO=6,CO=8$,求BC的长;
(3)求(2)中的圆的半径;
(4)若$BE=x,GC=y,\odot O$直径长度为10,求y与x的函数解析式;
(5)如图,$\odot O$为直角梯形ABCD的内切圆,M,N,F,G为切点,$∠A=∠B=90^{\circ },AD=3,BC=6$,求$\odot O$的半径;
(6)如图,四边形ABCD,$∠ADC=90^{\circ },AB=6,AD=8,\odot O$切AB,CD于B,C两点,切AD于点E,求BC的长.
【方法归纳】连切点得垂直,注意平行转换,寻找等线段,借助勾股定理列方程.

答案：
（例 10）（1）证明：$$
\because A B $$，$$B C $$，$$C D $$ 分别与$$\odot O $$ 相切于$$E $$，$$F $$，$$G $$ 三点，
由切线长定理，知$$B F = B E $$，
$C F = C G $$，$
\therefore B F + C F = B E + C G $$，
即$$B C = B E + C G $$；
解：（2）由切线长定理，知$$\angle O B C = \frac { 1 } { 2 } \angle E B C $$，
$\angle O C B = \frac { 1 } { 2 } \angle G C B $$，$\angle O B C + \angle O C B = \frac { 1 } { 2 } ( \angle E B C + \angle G C B ) $$，
$\because A B // C D $$，$
\therefore \angle E B C + \angle G C B = 180 ^ { \circ } $$，
$\therefore \angle O B C + \angle O C B = \frac { 1 } { 2 } × 180 ^ { \circ } = 90 ^ { \circ } $$，$
\therefore \angle B O C = 180 ^ { \circ } - \angle O B C - \angle O C B $$ = 180 ^ { \circ } - 90 ^ { \circ } = 90 ^ { \circ } $$ ，
$\therefore \triangle B O C $$ 是以$$B C $$ 为斜边的直角三角形，$
\therefore B C = \sqrt { B O ^ { 2 } + C O ^ { 2 } } = \sqrt { 6 ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } } = 10 $$；
（3）如图，连接$$O F $$，

$\because B C $$ 为$$\odot O $$ 的切线，$$F $$ 为切点，$
\therefore O F \perp B C $$，
$\therefore S _ { \triangle B O C } = \frac { 1 } { 2 } B O \cdot C O = \frac { 1 } { 2 } B C \cdot O F $$，$
\therefore O F = \frac { B O \cdot C O } { B C } = \frac { 6 × 8 } { 10 } = 4.8 $$，
$\therefore $$ 半径为$$4.8 $$；（4）如图，连接$$O E $$，$$O G $$，$
\because B O ^ { 2 } = x ^ { 2 } + O E ^ { 2 } = x ^ { 2 } + 25 $$，$$C O ^ { 2 } = y ^ { 2 } + O G ^ { 2 } = y ^ { 2 } + 25 $$，
又$$
\because B C = x + y $$，由（2）得$$\angle B O C = 90 ^ { \circ } $$，
$\therefore B O ^ { 2 } + C O ^ { 2 } = B C ^ { 2 } $$，即$$x ^ { 2 } + 25 + y ^ { 2 } + 25 = ( x + y ) ^ { 2 } $$，解得$$x y = 25 $$，$
\therefore y = \frac { 25 } { x } $$，
$\therefore y $$ 与$$x $$ 的函数解析式为$$y = \frac { 25 } { x } $$；（5）连接$$O G $$，$$O M $$，$$O N $$，易知四边形$$O M A G $$ 和四边形$$O M B N $$ 均为正方形，可得$$G $$，$$O $$，$$N $$ 三点共线， 设$$\odot O $$ 半径为$$r $$，则$$D G = D F = 3 - r $$，$$C N = C F = 6 - r $$，$$C D = 9 - 2 r $$，过点$$D $$ 作$$D H \perp B C $$ 于点$$H $$，易得四边形$$G D H N $$ 为矩形，$$D H = G N $$，$( 2 r ) ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } = ( 9 - 2 r ) ^ { 2 } $$，
$\therefore r = 2 $$，$
\therefore \odot O $$ 的半径为$$2 $$；
（6）如图，延长$$A B $$ 交$$D C $$ 的延长线与点$$F $$，过点$$B $$ 作$$B M \perp D F $$ 于点$$M $$，

$\because \odot O $$ 切$$A B $$，$$C D $$ 于$$B $$，$$C $$ 两点，切$$A D $$ 于点$$E $$，$
\therefore A E = A B = 6 $$，$$C D = D E $$，$$F C = F B $$．
$\because A D = 8 $$，$
\therefore D E = A D - A E = 8 - 6 = 2 $$．
$\therefore C D = D E = 2 $$．设$$F B = F C = x $$，则$$A F = 6 + x $$，$$D F = 2 + x $$，在$$\mathrm { Rt } \triangle F D A $$ 中，$$D F ^ { 2 } + A D ^ { 2 } = A F ^ { 2 } $$，$
\therefore ( 2 + x ) ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } = ( 6 + x ) ^ { 2 } $$，解得$$x = 4 $$，
$\therefore F B = F C = 4 $$．$
\therefore D F = C D + F C = 2 + 4 = 6 $$，
$A F = B F + A B = 6 + 4 = 10 $$．$
\because B M \perp D F $$，$$\angle A D C = 90 ^ { \circ } $$，
$\therefore B M // A D $$．$
\therefore \frac { F M } { D F } = \frac { B M } { A D } = \frac { F B } { A F } $$．
$\therefore \frac { F M } { 6 } = \frac { B M } { 8 } = \frac { 4 } { 10 } = \frac { 2 } { 5 } $$，$
\therefore F M = \frac { 12 } { 5 } $$，$$B M = \frac { 16 } { 5 } $$．
$\therefore C M = F C - F M = 4 - \frac { 12 } { 5 } = \frac { 8 } { 5 } $$．在$$\mathrm { Rt } \triangle M C B $$ 中，$$B M ^ { 2 } + C M ^ { 2 } = B C ^ { 2 } $$，$
\therefore B C = \sqrt { B M ^ { 2 } + C M ^ { 2 } } = \frac { 8 \sqrt { 5 } } { 5 } $$．