《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

19.(例9)若$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$2x^{2}-3x-1=0$的两个根,求下列代数式的值.
(1)$(x_{1}-x_{2})^{2};$
(2)$(x_{1}+\frac {1}{x_{2}})(x_{2}+\frac {1}{x_{1}}).$

答案： 解: $x_{1}+x_{2}=\frac{3}{2}, x_{1} x_{2}=-\frac{1}{2}$.
(1) 原式 $=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4 ×\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{17}{4}$;
(2) 原式 $=\frac{\left(x_{1} x_{2}+1\right)^{2}}{x_{1} x_{2}}=\left(-\frac{1}{2}+1\right)^{2} ÷\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}$.

20.已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(2k+3)x+k^{2}=0$有两个不相等的实数根$x_{1},x_{2}.$
(1)求k的取值范围;
(2)若$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=-1$,求k的值.

答案： 解:
(1) 由题意知, $\Delta=(2 k+3)^{2}-4 k^{2}＞0$, 解得 $k＞-\frac{3}{4}$;
(2) $\because x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2}+(2 k+3) x+k^{2}=0$ 的实根数,
$\therefore x_{1}+x_{2}=-(2 k+3), x_{1} x_{2}=k^{2}$,
$\therefore \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1} x_{2}}=\frac{-(2 k+3)}{k^{2}}=-1$,
解得 $k_{1}=3, k_{2}=-1$,
经检验, $k_{1}=3, k_{2}=-1$ 都是原分式方程的解,
又 $\because k＞-\frac{3}{4}, \therefore k=3$.

21.(例10)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+m=0.$
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程两实数根为$x_{1},x_{2}$,且满足$5x_{1}+2x_{2}=2$,求实数m的值.

答案： 解:
(1) $\because$ 方程有实数根,
$\therefore \Delta=(-4)^{2}-4 m=16-4 m \geqslant 0$,
解得 $m \leqslant 4$;
(2) $\because x_{1}+x_{2}=4$,
$\therefore 5 x_{1}+2 x_{2}=2\left(x_{1}+x_{2}\right)+3 x_{1}=2 × 4+3 x_{1}=2$,
$\therefore x_{1}=-2$, 把 $x_{1}=-2$ 代人 $x^{2}-4 x+m=0$ 得 $(-2)^{2}-4 ×(-2)+m=0$,
解得 $m=-12$.