《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

21.公路上行驶的汽车急刹车时,刹车距离$s(\text{m})$与时间$t(\text{s})$的函数解析式$s=20t-5t^{2}$,当遇到紧急情况时,司机急刹车,但由于惯性汽车要滑行2$\text{s}$才能停下来,最大的滑行距离为20$\text{m}$.

答案： 220

22.已知抛物线$y=x^{2}-mx-6m^{2}$.
(1)求证:无论$x$取何值,抛物线与$x$轴总有交点;
(2)当$m=2$时,求抛物线与坐标轴的交点坐标.

答案：
(1)证明:
∵a=1，b=−m，c=−6m²，
∴Δ=b²−4ac=(−m)²−4×1×(−6m²)=25m²≥0.故无论x取何值抛物线与x轴总有交点;
(2)解:当m=2时，抛物线的解析式为y=x²−2x−24，
　令x=0，得y=−24，
　令y=0，得x²−2x−24=0，
　解得x₁=6，x₂=−4，
　故抛物线与y轴的交点坐标为(0,−24)，与x轴的交点坐标为(6,0)，(−4,0).

23.如图,点$E$,$F$,$G$,$H$分别在菱形$ABCD$的四条边上,$BE=BF=DG=DH$,连接$EF$,$FG$,$GH$,$HE$,已知$\angle A=60^{\circ}$.
(1)求$\angle HEF$的度数;
(2)判断四边形$EFGH$的形状,并说明理由;
(3)若$AB=6$,设$AE=x$.当$x$为何值时,四边形$EFGH$的面积最大?

答案： 解:
(1)
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵BE=BF=DG=DH，
∴AE=AH，
∵∠A=60°，
∴△AEH为等边三角形，∠B=120°.
∴∠AEH=60°，∠BEF=30°，
∴∠HEF=90°;
(2)四边形EFGH为矩形，理由如下:
∵DG=DH，
∴∠DHG=∠DGH=30°，
　同理∠CGF=60°，
∴∠DGH+∠CGF=90°，
∴∠HGF=90°，
　同理∠GHE=90°，∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是矩形;
(3)
∵AB=6，∠A=60°，AE=x，
∴EH=x，
　则EF=$\sqrt{3}$(6−x)，
　则矩形EFGH的面积S=EH·EF=x·$\sqrt{3}$(6−x)= -$\sqrt{3}$x²+6$\sqrt{3}$x，
　则当x = -$\frac{b}{2a}$ = -$\frac{6\sqrt{3}}{-2\sqrt{3}}$ = 3时，函数有最大值.
∴当x为3时，四边形EFGH的面积最大.