《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

10.(例7)有七张正面分别标有数-3,-2,-1,0,1,2,3的卡片,它们除数不同外其余全部相同,再将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数为a,求使关于x的一元二次方程$x^{2}-2(a - 1)x + a(a - 3)=0$有两个不相等的实数根,且以x为自变量的二次函数$y = x^{2}-(a^{2}+1)x - a + 2$的图象不经过点(1,0)的概率.

答案： 解: $\because x^{2}-2(a - 1)x + a(a - 3)=0$ 有两个不相等的实数根,
$\therefore \Delta＞0$,
$\therefore [-2(a - 1)]^{2}-4a(a - 3)＞0$,
$\therefore a＞-1$,
将 $(1,0)$ 代入 $y = x^{2}-(a^{2}+1)x - a + 2$, 得 $a^{2}+a - 2 = 0$, 即 $(a - 1)(a + 2)=0$,
解得 $a_{1}=1,a_{2}=-2$.
由题意得二次函数不经过点 $(1,0)$,
$\therefore$ 符合要求的 $a$ 的值为 $0,2,3$.
故概率 $P=\frac{3}{7}$.

11.(例8)汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛和小组赛比赛规则如下:两队之间进行五局比赛,其中三局单打,两局双打,五局比赛必须全部打完,赢得三局及以上的队获胜,假如甲、乙两队每局获胜的机会相同.
(1)若前四局双方战成2:2,则甲队最终获胜的概率是______;
(2)现甲队在前两局比赛中已以2:0领先,那么甲队最终获胜的概率是多少?

答案：

(1) $\frac{1}{2}$
(2) 解: 画树状图如图.
　第
　第 第
共有 8 种等可能的结果, 其中甲至少胜一局有 7 种结果, $\therefore$ 甲队最终获胜的概率是 $P=\frac{7}{8}$.