《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

3.如图,AB是半圆O的直径,四边形CDEF是正方形,其中点D,E在半圆O上,点C,F在直径AB上.
(1)求证:OC=OF;
(2)在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK,点G在AB上,点H在半圆O上,点K在EF上.若正方形CDEF的边长为2,求正方形FGHK的面积.

答案：

(1)证明:如图,连接OD,OE,则OD = OE，

∵四边形CDEF为正方形，
∴CD = FE,∠DCO = ∠EFO = 90°,
在Rt△DOC和Rt△EOF中,
{OD = OE,CD = FE}
∴Rt△DOC≌Rt△EOF(HL),
∴OC = OF;
(2)解:如图，连接OH,设正方形FGHK的边长为x,
由已知及
(1)可得EF = 2,OF = 1.
在Rt△OEF中,OE² = OF² + EF² = 1² + 2² = 5,在Rt△OHG中,OH² = OG² + GH²,
∴5 = (1 + x)² + x²,
整理得x² + x - 2 = 0.
解得x₁ = - 2(不合题意，舍去),x₂ = 1,
∴x² = 1,
∴正方形FGHK的面积为1.