《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

7.在$△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },AC=BC$,直线MN经过点C,且$AD⊥MN$于点D,$BE⊥MN$于点E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,$△ADC$和$△CEB$全等吗?请说明理由;
(2)聪明的小亮发现,当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,可得$DE=AD+BE$,请你说明其中的理由;
(3)小亮将直线MN绕点C旋转到图2的位置,发现DE,AD,BE之间存在着一个新的数量关系,请直接写出这一数量关系.

答案： 解:
(1) $ \triangle ADC \cong \triangle CEB $，理由如下:
$ \because \angle ACB = 90^\circ $，
$ \therefore \angle ACD + \angle BCE = 90^\circ $，
$ \because BE \perp MN $，
$ \therefore \angle CBE + \angle BCE = 90^\circ $，
$ \therefore \angle ACD = \angle CBE $，
在 $ \triangle ADC $ 和 $ \triangle CEB $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle ACD = \angle CBE, } \\ { \angle ADC = \angle CEB = 90^\circ, } \\ { AC = CB, } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ADC \cong \triangle CEB ( \text{AAS} ) $；
(2) $ \because \triangle ADC \cong \triangle CEB $，
$ \therefore BE = CD $，$ CE = AD $，
$ \therefore DE = CE + CD = AD + BE $；
(3) $ DE = AD - BE $．

8.如图,$△ABC,△AED$都为等腰直角三角形,$∠BAC=∠EAD=90^{\circ }$,点B,C分别在线段AE,AD上,$AC=\frac {1}{2}DE$,将$△ABC$绕点A顺时针旋转角$α(0^{\circ }＜α＜360^{\circ })$,若以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形,求α的度数.

答案：
解: $ \because $ 以 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 四点为顶点的四边形为平行四边形，
$ \triangle ABC $，$ \triangle AED $ 是等腰直角三角形，
$ \therefore \angle ABC = \angle ADE = 45^\circ $，$ AB = AC $，
$ \because AC = \frac { 1 } { 2 } DE $，
$ \therefore AC = CD $，
如图所示，当 $ B $ 移动到 $ B_1 $，$ C $ 移动到 $ C_1 $ 时，
$ \alpha = \angle C_1AD = 45^\circ $，
当 $ B $ 移动到 $ B_2 $，$ C $ 移动到 $ C_2 $ 时，
$ \alpha = \angle C_1AD + 180^\circ = 225^\circ $，
当 $ B $ 移动到 $ B_3 $，$ C $ 移动到 $ C_3 $ 时，
$ \alpha = 360^\circ - \angle C_3AD = 315^\circ $，
综上所述，角 $ \alpha $ 的度数是 $ 45^\circ $ 或 $ 225^\circ $ 或 $ 315^\circ $．