《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

5.如图,将$△ABC$绕顶点B按顺时针方向旋转$60^{\circ }$得到$△DBE$,连接AD,DC,CE,已知$∠DCB=30^{\circ }.$
(1)求证:$△BCE$是等边三角形;
(2)求证:$DC^{2}+BC^{2}=AC^{2}.$

答案： 证明:
(1) 依题意，得 $ \triangle ABC \cong \triangle DBE $，
$ \therefore BC = BE $，
$ \because \angle CBE = 60^\circ $，
$ \therefore \triangle BCE $ 是等边三角形；
(2) $ \because \triangle BCE $ 为等边三角形，
$ \therefore BC = CE $，$ \angle BCE = 60^\circ $．
$ \because \angle DCB = 30^\circ $，
$ \therefore \angle DCE = 90^\circ $，
在 $ \text{Rt} \triangle DCE $ 中，$ DC^2 + CE^2 = DE^2 $，
由题意得 $ DE = AC $，
$ \therefore DC^2 + BC^2 = AC^2 $．

6.如图,将$△ABC$绕点B顺时针旋转$60^{\circ }$得到$△DBE$,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,连接AD,AC与DB交于点P,DE与CB交于点Q,连接PQ,若$AD=5cm,\frac {PB}{AB}=\frac {2}{5}$,求PQ的长.

答案： 解: $ \because \triangle ABC $ 绕点 $ B $ 顺时针旋转 $ 60^\circ $ 得到 $ \triangle DBE $，
$ \therefore \angle ABD = \angle CBE = 60^\circ $，$ AB = BD $，
$ \therefore \triangle ABD $ 是等边三角形，
$ \therefore AB = AD = 5 \text{ cm} $，
$ \because \frac { PB } { AB } = \frac { 2 } { 5 } $，
$ \therefore PB = 2 \text{ cm} $，
$ \because AB = BD $，$ \angle BAP = \angle BDQ $，$ \angle ABP = \angle DBQ = 60^\circ $，
$ \therefore \triangle ABP \cong \triangle DBQ $，
$ \therefore PB = QB $，
$ \therefore \triangle PQB $ 是等边三角形，
$ \therefore PQ = PB = 2 \text{ cm} $．