《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

9.已知抛物线$y=x^{2}-2x-3$坐标轴交于$A(-1,0)$,$B(3,0)$,$C(0,-3)$,连接$BC$,点$P$在抛物线上.
(1)求$\angle OBC$的角度;
(2)当$\angle PBC=15^{\circ}$时,求点$P$坐标.

答案：
解:
(1)
∵B(3,0)，C(0,−3)，
∴OB=OC=3，
∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°;
(2)①当P点在BC上方时，设直线BP交y轴于点D，如图1，
　　　　
　此时∠OBP=30°，
　设点D坐标为(0,y)，在Rt△BOD中，
　BD=2y，BD²=OD²+OB²，
　(2y)²=y²+3²，
　解得y₁=−$\sqrt{3}$，y₂=$\sqrt{3}$(舍去)，
∴点D坐标为(0,−$\sqrt{3}$)，
　设直线BP的解析式为y=kx+b，
∵B(3,0)，D(0,−$\sqrt{3}$)，
∴直线BP的解析式为y = $\frac{\sqrt{3}}{3}$x - $\sqrt{3}$，
∵$\frac{\sqrt{3}}{3}$x - $\sqrt{3}$=x²−2x−3，
　x²−2x - $\frac{\sqrt{3}}{3}$x - 3 + $\sqrt{3}$ = 0，
　(x - 3)(x + 1 - $\frac{\sqrt{3}}{3}$)=0，
∴xₚ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$−1，yₚ=$\frac{1}{3}$ - $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
∴P₁($\frac{\sqrt{3}}{3}$−1,$\frac{1}{3}$ - $\frac{4\sqrt{3}}{3}$);
　②当P点在BC下方时，设直线BP交y轴于点E，如图2，
　　　　
　此时∠OBP=60°，
设点E坐标为(0,y)，在Rt△BOD中，
　BE=6，BE²=OE²+OB²，
　6²=y²+3²，解得y₁=−3$\sqrt{3}$，y₂=3$\sqrt{3}$(舍去)，
∴点E坐标为(0,−3$\sqrt{3}$)，
　设直线BP的解析式为y=kx+b，
∵B(3,0)，E(0,−3$\sqrt{3}$)，
∴直线BP的解析式为y = $\sqrt{3}$x - 3$\sqrt{3}$，
∵$\sqrt{3}$x - 3$\sqrt{3}$=x²−2x−3，
　x²−2x - $\sqrt{3}$x - 3 + 3$\sqrt{3}$ = 0，
　(x - 3)(x + 1 - $\sqrt{3}$)=0，
∴xₚ=$\sqrt{3}$−1，yₚ=3 - 4$\sqrt{3}$.
∴P($\sqrt{3}$−1,3 - 4$\sqrt{3}$).
　综上，点P的坐标为($\frac{\sqrt{3}}{3}$−1,$\frac{1}{3}$ - $\frac{4\sqrt{3}}{3}$)或($\sqrt{3}$−1,3 - 4$\sqrt{3}$).