《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

9.(例4)阅读下面的材料,解答问题:
为解方程$(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4=0$,我们可以将$(x^{2}-1)$看作一个整体,然后设$x^{2}-1=y$,那么原方程可化为$y^{2}-5y+4=0$,解得$y_{1}=1,y_{2}=4$.
当$y=1$时,$x^{2}-1=1,\therefore x^{2}=2,x=\pm \sqrt {2};$
当$y=4$时,$x^{2}-1=4,\therefore x^{2}=5,x=\pm \sqrt {5}.$
故原方程的解为:$x_{1}=\sqrt {2},x_{2}=-\sqrt {2},x_{3}=\sqrt {5},x_{4}=-\sqrt {5}.$
上述解题方法叫做换元法.
(1)请利用换元法解方程:$(x^{2}-x)^{2}-5(x^{2}-x)-6=0;$
(2)解方程:$2x^{2}-6x-\frac {6}{x^{2}-3x}=-1;$
(3)解方程:$\sqrt {2x^{2}+6x+1}-x^{2}-3x+7=0.$

答案： 解:
(1) 设 $x^{2}-x=y$, 则原方程可化为 $y^{2}-5 y-6=0$, 解得 $y=-1$ 或 $y=6$,
当 $y=-1$ 时, $x^{2}-x=-1$, 即 $x^{2}-x+1=0$, 由 $\Delta=(-1)^{2}-4 × 1 × 1=-3＜0$, 方程无解;
当 $y=6$ 时, $x^{2}-x=6$, 即 $x^{2}-x-6=0$,
解得 $x_{1}=-2, x_{2}=3$.
综上, 原方程的解为 $x_{1}=-2, x_{2}=3$;
(2) 设 $x^{2}-3 x=y$, 则原方程可代为 $2 y-\frac{6}{y}=-1$, 整理得 $2 y^{2}+y-6=0$, 解得 $y=-2$ 或 $y=\frac{3}{2}$.
当 $y=-2$ 时, $x^{2}-3 x=-2$, 即 $x^{2}-3 x+2=0$, 解得 $x=1$ 或 $x=2$;
当 $y=\frac{3}{2}$ 时, $x^{2}-3 x=\frac{3}{2}$, 即 $2 x^{2}-6 x-3=0$, 解得 $x=\frac{3 \pm \sqrt{15}}{2}$.
综上, 原方程的解为 $x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=\frac{3+\sqrt{15}}{2}, x_{4}=\frac{3-\sqrt{15}}{2}$;
(3) 设 $x^{2}+3 x=y$, 则原方程可化为 $\sqrt{2 y+1}-y+7=0$, 整理得 $y^{2}-16 y+48=0$,
解得 $y=4$ 或 $y=12$,
当 $y=4$ 时, $x^{2}+3 x=4$,
解得 $x_{1}=1$ 或 $x_{2}=-4$;
当 $y=12$ 时, $x^{2}+3 x=12$,
解得 $x=\frac{-3 \pm \sqrt{57}}{2}$.
综上, 原方程的解为 $x_{1}=1, x_{2}=-4, x_{3}=\frac{-3+\sqrt{57}}{2}, x_{4}=\frac{-3-\sqrt{57}}{2}$.

10.根据上题材料,解答问题:
(1)根据材料解方程:$x^{4}-x^{2}-6=0;$
(2)已知实数a,b满足$(a+2b)(a+2b-2)=2a+4b-4$,求$a+2b$的值.

答案： 解:
(1) 设 $x^{2}=y$, 则原方程可化为 $y^{2}-y-6=0$, 解得 $y_{1}=3, y_{2}=-2$,
当 $y=3$ 时, $x^{2}=3$,
解得 $x_{1}=\sqrt{3}, x_{2}=-\sqrt{3}$,
当 $y=-2$ 时, $x^{2}=-2$, 此方程无解,
综上可得原方程的解为 $x_{1}=\sqrt{3}, x_{2}=-\sqrt{3}$;
(2) 令 $a+2 b=x$, 则 $x(x-2)=2 x-4$,
解得 $x_{1}=x_{2}=2$,
$\therefore a+2 b=2$.