《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

10.(例6)如图,$△ABD$是$\odot O$的内接三角形,点C是$\odot O$外的一点,且$∠DBC=∠A$,求证:BC是$\odot O$的切线.

答案：
证明：如图，作直径$$BE$$，连接$$DE$$，

$\therefore \angle B D E = 90 ^ { \circ }$$，$
\therefore \angle D B E + \angle E = 90 ^ { \circ }$$，
$\because \angle E = \angle A = \angle D B C $$，$
\therefore \angle D B E + \angle D B C = 90 ^ { \circ }$$，
$\therefore \angle C B E = 90 ^ { \circ }$$，$
\therefore B C $$ 是$$\odot O $$ 的切线．

11.如图,点P是$\odot O$的直径AB的延长线上的一点,点Q是$\odot O$上的一点,且满足$PQ^{2}=PA\cdot PB$,求证:PQ与$\odot O$相切.

答案：
证明：如图，连接$$OQ$$，

$\because P Q ^ { 2 } = P A \cdot P B $$，$
\therefore P Q ^ { 2 } = ( P O + O A ) ( P O - O B ) $$ = ( P O + O Q ) ( P O - O Q ) $$ = P O ^ { 2 } - O Q ^ { 2 } $$，
$\therefore P Q ^ { 2 } + O Q ^ { 2 } = P O ^ { 2 } $$，$
\therefore \triangle P O Q $$ 为直角三角形且$$\angle P Q O = 90 ^ { \circ } $$，
$\therefore O Q \perp P Q $$，$
\therefore P Q $$ 与$$\odot O $$ 相切．